У равностороннего треугольника со стороной длиной 18 м внутри вписан круг. Найдите площадь этого круга. (Примите

Солнечный_Наркоман

69

Для решения этой задачи, нам понадобится знать некоторые свойства равностороннего треугольника и круга.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Таким образом, длина каждой стороны этого треугольника составляет 18 м.

Также, в равностороннем треугольнике можно провести высоту, которая будет одновременно и медианой, и биссектрисой. То есть, высота разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Мы также знаем, что вписанный круг треугольника, имеет центр в точке пересечения медиан и проходит через середины сторон треугольника. Следовательно, диаметр этого круга будет являться высотой треугольника.

Таким образом, чтобы найти площадь вписанного круга, нам нужно сначала найти длину высоты треугольника, а затем использовать формулу для площади круга.

Для нахождения длины высоты треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной стороны треугольника и высотой, гипотенуза будет равна стороне треугольника. Так как сторона треугольника равна 18 м, то половина стороны будет равна \(\frac{18}{2} = 9\) м. Теперь мы можем применить теорему Пифагора:

\[
9^2 + h^2 = 18^2
\]
где \(h\) - высота треугольника.

Решим это уравнение:

\[
81 + h^2 = 324
\]
\[
h^2 = 324 - 81
\]
\[
h^2 = 243
\]

Чтобы найти значение \(h\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[
h = \sqrt{243}
\]

Учитывая, что \(h\) - это диаметр вписанного круга, радиус будет равен половине диаметра:

\[
r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{243}}{2}
\]

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем найти площадь круга, используя формулу:

\[
S = \pi r^2
\]

Подставим значения и округлим до сотых:

\[
S = 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{243}}{2}\right)^2 \approx 3 \cdot \left(\frac{15.588}{2}\right)^2 \approx 3 \cdot \left(7.794\right)^2 \approx 3 \cdot 60.72 \approx 182.16
\]

Таким образом, площадь вписанного круга в этом равностороннем треугольнике составляет примерно 182.16 квадратных метра, округлено до сотых.