У Светы и Паши есть номера телефонов, состоящие из 7 цифр, и оба номера не начинаются с нуля. У Светы номер отличается

Марго

37

Чтобы решить эту задачу, мы должны следовать пошаговым действиям для нахождения остатка от деления номера телефона Светы при делении на 25.

1. Поскольку оба номера не начинаются с нуля и состоят из 7 цифр, то первая цифра номера Паши не равна нулю. Пусть первая цифра номера Паши равна \(a\), тогда его вторая цифра будет \(a+3\).
2. Теперь мы знаем, что у номера Паши остаток при делении на 25 равен 8. Обозначим этот номер как \(10^5 \cdot a + 10^4 \cdot (a+3) + b\), где \(b\) - остаток при делении на 10000.
3. Поскольку 10000 делится на 25 без остатка, мы можем проигнорировать часть с \(b\) внутри номера и сконцентрироваться на первых двух членах выражения, которые соответствуют остатку при делении на 25.
4. Теперь мы можем записать номер Паши как \((10^5 \cdot a + 10^4 \cdot (a+3)) \mod 25\).
5. Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить \((10^5 \cdot a + 10^4 \cdot a + 3 \cdot 10^4) \mod 25\).
6. Сгруппируем члены и сократим кратные степени 10: \((11 \cdot 10^4 \cdot a + 3 \cdot 10^4) \mod 25\).
7. Вынесем наружу 10000 и преобразуем его к остатку от деления на 25: \((11 \cdot (10^4 \cdot a) \mod 25 + 3 \cdot 10^4 \mod 25) \mod 25\).
8. Теперь мы должны привести выражения \(10^4 \cdot a\) и \(10^4\) к остатку от деления на 25.
9. Заметим, что 10 возводимое в любую чётную степень дает остаток 1 при делении на 25, а 10 возводимое в любую нечётную степень дает остаток 10 при делении на 25.
10. Поскольку \(10^4\) - четная степень, остаток будет \(10 \mod 25\).
11. Остаток \(10^4 \cdot a\) зависит от значения \(a\):
- Если \(a\) равно 1, то остаток будет \(10 \mod 25\).
- Если \(a\) равно 2, то остаток будет \(20 \mod 25\).
- Если \(a\) равно 3, то остаток будет \(15 \mod 25\).
- Если \(a\) равно 4, то остаток будет \(5 \mod 25\).
- Если \(a\) равно 5, то остаток будет \(0 \mod 25\).
- При больших значениях \(a\) остаток будет повторяться (так как остаток от деления повторяется каждый раз при добавлении или вычитании 25 в знаменателе).
12. Теперь возьмем результат остатка \((10^4 \cdot a) \mod 25\) и результат остатка \(3 \cdot 10^4 \mod 25\) и сложим их по модулю 25: \((10 \mod 25 + 3 \cdot 10^4 \mod 25) \mod 25\).
13. Расшифруем числа в скобках и продолжим решение: \((10 + 3 \cdot 10^4 \mod 25) \mod 25\).
14. Произведем вычисления: \((10 + 3 \cdot 10000 \mod 25) \mod 25 = (10 + 3 \cdot 0 \mod 25) \mod 25 = 10 \mod 25\).

Ответ: Остаток от деления номера телефона Светы при делении на 25 - это 10.