Какова площадь поверхности сферы, вписанной в правильную пирамиду с апофемой м, которая наклонена к плоскости основания

Красавчик

35

Хорошо, чтобы найти площадь поверхности сферы, вписанной в правильную пирамиду, мы можем разделить задачу на две части: нахождение радиуса сферы и нахождение площади поверхности сферы.

Начнем с нахождения радиуса сферы. Для этого нам понадобится значение апофемы и угла α.

Апофема (m) - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. В нашем случае, m равно 15 см.

Угол α - это угол наклона пирамиды к плоскости основания. В нашем случае, α равно 60 градусов.

Чтобы найти радиус сферы, мы можем использовать теорему косинусов, примененную к треугольнику, образованному вертикальной проекцией апофемы, радиусом сферы и его высотой. Рассмотрим этот треугольник:

\[
\cos(\alpha) = \frac{r}{m}
\]

где r - это радиус сферы.

Теперь давайте подставим значения, чтобы найти радиус:

\[
\cos(60^\circ) = \frac{r}{15}
\]

\[
\frac{1}{2} = \frac{r}{15}
\]

Домножим обе стороны уравнения на 15:

\[
r = \frac{15}{2}
\]

\[
r = 7.5 \text{ см}
\]

Таким образом, радиус сферы равен 7,5 см.

Теперь, чтобы найти площадь поверхности сферы, мы можем использовать формулу:

\[
S = 4\pi r^2
\]

где S - площадь поверхности сферы, а r - радиус сферы.

Подставляем значение радиуса:

\[
S = 4\pi \cdot (7.5)^2
\]

\[
S = 4\pi \cdot 56.25
\]

\[
S \approx 225\pi
\]

Таким образом, площадь поверхности сферы, вписанной в данную пирамиду, примерно равна \(225\pi\) квадратных сантиметров.