У трикутнику АВС, ВD є медіаною, і маємо AB = 7 см та ВС = 8 см. В кола, які вписані в трикутники АВD і BDC, потрібно

Lastochka

67

Для начала, давайте посмотрим на нашу задачу внимательнее. У нас есть треугольник ABC, где BD является медианой. Мы также знаем, что AB = 7 см и BC = 8 см. Наша задача - найти расстояние между точками касания вписанных окружностей с треугольниками ABD и BDC и стороной AC.

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Вычисление длины стороны AC
Мы можем использовать медианную формулу, чтобы найти длину стороны AC. По определению, медиана делит сторону треугольника на две равные части. Таким образом, BD является медианой, и значит, точка D делит сторону AC на две равные части.

Таким образом, AD = CD.

Мы знаем, что AB = 7 см и BC = 8 см, поэтому общая длина стороны AC равна:
AC = AB + BC
AC = 7 см + 8 см
AC = 15 см

Шаг 2: Вычисление полупериметра треугольника ABD и BDC
Мы можем использовать формулу полупериметра треугольника $s=\frac{a+b+c}{2}$, где a, b и c - стороны треугольника.

Для треугольника ABD:
AB = 7 см (из условия)
AD = CD = $\frac{AC}{2}$ (по определению медианы)

Теперь мы можем вычислить полупериметр треугольника ABD:
s1 = $\frac{AB+AD+BD}{2}$
s1 = $\frac{7см+\frac{15см}{2}+BD}{2}$

Аналогично, для треугольника BDC:
BC = 8 см (из условия)
BD = AD = $\frac{AC}{2}$ (по определению медианы)

Теперь мы можем вычислить полупериметр треугольника BDC:
s2 = $\frac{BC+BD+CD}{2}$
s2 = $\frac{8см+\frac{15см}{2}+BD}{2}$

Шаг 3: Вычисление радиусов вписанных окружностей треугольников ABD и BDC
Мы можем использовать формулу радиуса вписанной окружности треугольника $r=\frac{\text{{площадь треугольника}}}{\text{{полупериметр треугольника}}}$.

Для треугольника ABD:
r1 = $\frac{\text{{площадь треугольника ABD}}}{s1}$
r1 = $\frac{\sqrt{s1(s1-AB)(s1-AD)(s1-BD)}}{s1}$

Аналогично, для треугольника BDC:
r2 = $\frac{\text{{площадь треугольника BDC}}}{s2}$
r2 = $\frac{\sqrt{s2(s2-BC)(s2-BD)(s2-CD)}}{s2}$

Шаг 4: Вычисление расстояния между точками касания окружностей и стороной AC
Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления этого расстояния.

Пусть это расстояние обозначается как x.

Тогда, мы получаем:
x = AD - r1
x = $\frac{15см}{2}-r1$

Также, мы имеем:
x = CD - r2
x = $\frac{15см}{2}-r2$

Теперь, все, что осталось, это вычислить значения r1 и r2, используя формулы, данные в Шаге 3, и подставить их в уравнения, чтобы получить конечный ответ.

Помните, что r1 и r2 будут выражены в виде корней, так как мы используем формулу для вычисления площади треугольника, и полупериметры содержат корни.

Ученикам может быть сложно самостоятельно вычислить значения r1 и r2, поэтому вам, как учителю, может потребоваться помочь им вычислить эти значения с использованием калькулятора или других вычислительных инструментов.