У трикутнику АВС, ВD є медіаною, і маємо AB = 7 см та ВС = 8 см. В кола, які вписані в трикутники АВD і BDC, потрібно

Lastochka

67

Для начала, давайте посмотрим на нашу задачу внимательнее. У нас есть треугольник ABC, где BD является медианой. Мы также знаем, что AB = 7 см и BC = 8 см. Наша задача - найти расстояние между точками касания вписанных окружностей с треугольниками ABD и BDC и стороной AC.

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Вычисление длины стороны AC
Мы можем использовать медианную формулу, чтобы найти длину стороны AC. По определению, медиана делит сторону треугольника на две равные части. Таким образом, BD является медианой, и значит, точка D делит сторону AC на две равные части.

Таким образом, AD = CD.

Мы знаем, что AB = 7 см и BC = 8 см, поэтому общая длина стороны AC равна:
AC = AB + BC
AC = 7 см + 8 см
AC = 15 см

Шаг 2: Вычисление полупериметра треугольника ABD и BDC
Мы можем использовать формулу полупериметра треугольника \(s = \frac{{a+b+c}}{2}\), где a, b и c - стороны треугольника.

Для треугольника ABD:
AB = 7 см (из условия)
AD = CD = \(\frac{{AC}}{2}\) (по определению медианы)

Теперь мы можем вычислить полупериметр треугольника ABD:
s1 = \(\frac{{AB + AD + BD}}{2}\)
s1 = \(\frac{{7 см + \frac{{15 см}}{2} + BD}}{2}\)

Аналогично, для треугольника BDC:
BC = 8 см (из условия)
BD = AD = \(\frac{{AC}}{2}\) (по определению медианы)

Теперь мы можем вычислить полупериметр треугольника BDC:
s2 = \(\frac{{BC + BD + CD}}{2}\)
s2 = \(\frac{{8 см + \frac{{15 см}}{2} + BD}}{2}\)

Шаг 3: Вычисление радиусов вписанных окружностей треугольников ABD и BDC
Мы можем использовать формулу радиуса вписанной окружности треугольника \(r = \frac{{\text{{площадь треугольника}}}}{{\text{{полупериметр треугольника}}}}\).

Для треугольника ABD:
r1 = \(\frac{{\text{{площадь треугольника ABD}}}}{s1}\)
r1 = \(\frac{{\sqrt{s1(s1-AB)(s1-AD)(s1-BD)}}}{s1}\)

Аналогично, для треугольника BDC:
r2 = \(\frac{{\text{{площадь треугольника BDC}}}}{s2}\)
r2 = \(\frac{{\sqrt{s2(s2-BC)(s2-BD)(s2-CD)}}}{s2}\)

Шаг 4: Вычисление расстояния между точками касания окружностей и стороной AC
Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления этого расстояния.

Пусть это расстояние обозначается как x.

Тогда, мы получаем:
x = AD - r1
x = \(\frac{{15 см}}{2} - r1\)

Также, мы имеем:
x = CD - r2
x = \(\frac{{15 см}}{2} - r2\)

Теперь, все, что осталось, это вычислить значения r1 и r2, используя формулы, данные в Шаге 3, и подставить их в уравнения, чтобы получить конечный ответ.

Помните, что r1 и r2 будут выражены в виде корней, так как мы используем формулу для вычисления площади треугольника, и полупериметры содержат корни.

Ученикам может быть сложно самостоятельно вычислить значения r1 и r2, поэтому вам, как учителю, может потребоваться помочь им вычислить эти значения с использованием калькулятора или других вычислительных инструментов.