У трикутнику FKM, де F - прямий кут, а гіпотенуза дорівнює 12, площа трикутника 18. Знайдіть гострі кути цього

Marat

47

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о теореме Пифагора и формуле площади треугольника. Давайте начнем.

1. Заметим, что у нас имеется прямоугольный треугольник, так как один из его углов (угол F) является прямым углом.

2. Теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, гипотенуза равна 12, поэтому можем записать уравнение:
\[12^2 = FK^2 + KM^2\]

3. Также из условия задачи нам известна площадь треугольника, которая равна 18. Зная, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними, можем записать формулу:
\[18 = \frac{1}{2} \cdot FK \cdot KM \cdot \sin F\]

4. Рассмотрим гострые углы треугольника, которые обозначим как A и B (угол F уже известен).

5. Для нахождения гострых углов воспользуемся тригонометрическими свойствами. Зная, что синус угла равен отношению противоположной стороны к гипотенузе, можем написать следующие равенства:
\[\sin A = \frac{FK}{12}\]
\[\sin B = \frac{KM}{12}\]

6. Подставим найденные значения синусов в формулу для площади и приведем ее к удобному виду:
\[18 = \frac{1}{2} \cdot FK \cdot KM \cdot \sin F\]
\[36 = FK \cdot KM \cdot \sin F\]
\[36 = 12 \cdot FK \cdot KM \cdot \sin F\]
\[3 = FK \cdot KM \cdot \sin F\]
\[3 = 12 \cdot \sin A \cdot \sin B\]

7. Теперь у нас есть два уравнения:
\[12^2 = FK^2 + KM^2\]
\[3 = 12 \cdot \sin A \cdot \sin B\]

8. Выразим KM через FK в первом уравнении:
\[12^2 = FK^2 + KM^2\]
\[144 = FK^2 + KM^2\]
\[KM^2 = 144 - FK^2\]
\[KM = \sqrt{144 - FK^2}\]

9. Подставим выражение для KM во второе уравнение:
\[3 = 12 \cdot \sin A \cdot \sin B\]
\[3 = 12 \cdot \sin A \cdot \sqrt{1 - \sin^2 A}\]

10. Теперь у нас есть одно уравнение с одной переменной (A). Решим его численно, с помощью соответствующих математических инструментов или таблицы значений синуса.

11. Повторим шаги 9 и 10 для угла B, используя выражение для sin B и найденное значение sin A.

12. Полученные значения углов A и B будут гострыми углами треугольника FKM, их можно записать через точку с запятой без пробелов в порядке возрастания.

Таким образом, чтобы найти гострые углы треугольника FKM, нам необходимо решить уравнение и выполнить вышеописанные шаги.