У вас есть треугольник ABC. Длина AC составляет 47,4 см, угол B равен 60°, углы

Sergey

27

A и C прямые. Найдите длины сторон AB и BC треугольника ABC.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой косинусов. Эта теорема позволяет нам найти длину одной из сторон треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

В данном случае, мы знаем длину стороны AC, которая равна 47,4 см, и угол B, который равен 60°. Нам нужно найти длины сторон AB и BC.

Для начала, найдем угол A, используя факт, что сумма углов треугольника равна 180°. Угол C является прямым углом, поэтому угол A определяется следующим образом: 180° - 90° - 60° = 30°.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длин сторон AB и BC.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины двух других сторон, C - угол между сторонами a и b.

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получаем два уравнения:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(A)\]
\[BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(B)\]

Заменим известные значения в эти уравнения: AC = 47,4 см, A = 30°, B = 60°.

Для решения уравнений, нам потребуется функция косинуса. Воспользуемся таблицей значений или калькулятором для нахождения значений косинусов углов A и B:

\[\cos(A) = \cos(30°) \approx 0,866\]
\[\cos(B) = \cos(60°) = 0,5\]

Подставим все известные значения:

\[AB^2 = (47,4)^2 + BC^2 - 2 \cdot 47,4 \cdot BC \cdot 0,866\]
\[BC^2 = (47,4)^2 + AB^2 - 2 \cdot 47,4 \cdot AB \cdot 0,5\]

Решим первое уравнение относительно AB. Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[AB^4 = (47,4)^4 + BC^4 + 2 \cdot (47,4)^2 \cdot BC^2 - 2 \cdot (47,4)^3 \cdot BC \cdot 0,866\]
\[BC^4 = (47,4)^4 + AB^4 + 2 \cdot (47,4)^2 \cdot AB^2 - 2 \cdot (47,4)^3 \cdot AB \cdot 0,5\]

После сокращения общих слагаемых и приведения подобных, остается система из двух уравнений:

\[AB^4 - BC^2 \cdot AB^2 + BC^4 + (47,4)^3 \cdot BC \cdot 0,866 \cdot AB - (47,4)^2 \cdot AB^2 = (47,4)^4\]
\[BC^4 - AB^2 \cdot BC^2 + AB^4 + (47,4)^3 \cdot AB \cdot 0,5 \cdot BC - (47,4)^2 \cdot BC^2 = (47,4)^4\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений численным методом, либо можно воспользоваться онлайн решателем уравнений.

После нахождения значения AB и BC, мы получим конечные ответы на задачу.