У Васи и Таси есть номера телефонов с семью цифрами, и оба номера не начинаются с нуля. Тасин номер отличается

Винни

20

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Пусть номер Васи состоит из цифр \(ABCDEF\), где \(A\) - первая цифра, \(B\) - вторая цифра и так далее.
2. Согласно условию, Тасин номер отличается от Васиного только первой цифрой. Поэтому номер Таси может быть записан как \(XBCDEF\), где \(X\) - первая цифра, \(B\) - вторая цифра и так далее.
3. Также условие говорит, что цифра Таси больше цифры Васи на 5. Математически это можно записать как \(X = A + 5\).
4. Васин номер, при делении на 4, даёт остаток 2. Мы можем записать это как \(ABCDEF \mod 4 = 2\).

Чтобы найти остаток при делении номера Таси на 4, нам необходимо выразить номер Таси через номер Васи. Давайте сделаем это.

5. Подставим найденное значение \(X\) в номер Таси: \(XBCDEF\).
6. Выразим \(A\) через \(X\), заменив в формуле \(A = X - 5\): \((X - 5)BCDEF\).

Теперь нам известно, что номер Васи при делении на 4 даёт остаток 2. Мы можем записать это как:

\[
(ABCDEF) \mod 4 = 2
\]

7. Подставим значения \(A = X - 5\) и \(X\) в эту формулу: \((X - 5)BCDEF \mod 4 = 2\).
8. Упростим полученное выражение: \((X - 5)(B \cdot 100000 + C \cdot 10000 + D \cdot 1000 + E \cdot 100 + F) \mod 4 = 2\).

Теперь мы можем рассмотреть остатки при делении чисел на 4:

- Числа, которые делятся на 4 без остатка, дают остаток 0.
- Числа, которые дают остаток 1 при делении на 4, дают остаток 1.
- Числа, которые дают остаток 2 при делении на 4, дают остаток 2.
- Числа, которые дают остаток 3 при делении на 4, дают остаток 3.

9. Рассмотрим последовательно все возможные значения \(X - 5\):

- Если \(X - 5\) даёт остаток 0 при делении на 4, то \((X - 5)(B \cdot 100000 + C \cdot 10000 + D \cdot 1000 + E \cdot 100 + F) \mod 4\) также будет давать остаток 0.
- Если \(X - 5\) даёт остаток 1 при делении на 4, то \((X - 5)(B \cdot 100000 + C \cdot 10000 + D \cdot 1000 + E \cdot 100 + F) \mod 4\) будет давать остаток \((1 \cdot B) \mod 4\) при делении на 4.
- Если \(X - 5\) даёт остаток 2 при делении на 4, то \((X - 5)(B \cdot 100000 + C \cdot 10000 + D \cdot 1000 + E \cdot 100 + F) \mod 4\) будет давать остаток \((2 \cdot B) \mod 4\) при делении на 4.
- Если \(X - 5\) даёт остаток 3 при делении на 4, то \((X - 5)(B \cdot 100000 + C \cdot 10000 + D \cdot 1000 + E \cdot 100 + F) \mod 4\) будет давать остаток \((3 \cdot B) \mod 4\) при делении на 4.

Мы знаем, что номер Васи при делении на 4 даёт остаток 2. Это означает, что \((X - 5)(B \cdot 100000 + C \cdot 10000 + D \cdot 1000 + E \cdot 100 + F) \mod 4\) должно дать остаток 2.

10. Теперь мы можем рассмотреть все возможные значения \(B\) и найти те, для которых остаток от умножения на \(B\) даёт остаток 2 при делении на 4.

- Если \(B = 0\), то остаток будет равен 0 и это не удовлетворяет условию.
- Если \(B = 1\), то остаток будет равен 2, что соответствует условию.

Таким образом, мы получаем, что при делении номера Таси на 4, остаток будет равен 2.

Ответ: При делении номера Таси на 4, остаток будет равен 2.