Угол между векторами a и b равен 60. Выберите все пары векторов, угол между которыми острый. a - b и a+b; 2a-b

Путник_По_Времени

15

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые знания о векторах и их угле. Угол между двумя векторами может быть либо острым, либо прямым, либо тупым. Острый угол означает, что угол между векторами меньше 90 градусов.

Дано, что угол между векторами a и b равен 60 градусов. Нам нужно выбрать пары векторов, угол между которыми острый.

Посмотрим на каждую пару векторов и определим, является ли угол между ними острым.

1. Пара векторов a - b и a + b:
Чтобы найти угол между этими векторами, мы можем использовать формулу cos(θ) = (a - b) * (a + b) / (|a - b| * |a + b|), где θ - угол между векторами, * - скалярное произведение векторов, | | - модуль вектора.

Рассчитываем:
\(cos(θ) = \frac{{(a - b) \cdot (a + b)}}{{|a - b| \cdot |a + b|}}\)

Теперь нам нужно узнать, является ли cos(θ) больше нуля, чтобы угол был острым. Если это так, то пара векторов подходит, иначе нет.

2. Пара векторов 2a - b и a + b:
Аналогично предыдущему случаю рассчитываем угол между векторами:
\(cos(θ) = \frac{{(2a - b) \cdot (a + b)}}{{|2a - b| \cdot |a + b|}}\)


3. Пара векторов 2a - b и a + 2b:
Рассчитываем угол между векторами:
\(cos(θ) = \frac{{(2a - b) \cdot (a + 2b)}}{{|2a - b| \cdot |a + 2b|}}\)


4. Пара векторов 2a - b и 2a + b:
Рассчитываем угол между векторами:
\(cos(θ) = \frac{{(2a - b) \cdot (2a + b)}}{{|2a - b| \cdot |2a + b|}}\)


5. Пара векторов 3a - b и a + b:
Рассчитываем угол между векторами:
\(cos(θ) = \frac{{(3a - b) \cdot (a + b)}}{{|3a - b| \cdot |a + b|}}\)


6. Пара векторов 3a - b и a + 2b:
Рассчитываем угол между векторами:
\(cos(θ) = \frac{{(3a - b) \cdot (a + 2b)}}{{|3a - b| \cdot |a + 2b|}}\)

Итак, мы получили значения cos(θ) для каждой пары векторов. Если значение cos(θ) больше нуля, это означает, что угол между векторами острый. Давайте проверим каждую пару:

1. Для пары векторов a - b и a + b:
\(cos(θ) = \frac{{(a - b) \cdot (a + b)}}{{|a - b| \cdot |a + b|}}\)
Подставляем численные значения:
\(cos(θ) = \frac{{60 \cdot 120}}{{|60| \cdot |120|}} = \frac{{-3600}}{{60 \cdot 120}} < 0\)
Значение cos(θ) меньше нуля, поэтому угол между векторами не является острым.

2. Для пары векторов 2a - b и a + b:
\(cos(θ) = \frac{{(2a - b) \cdot (a + b)}}{{|2a - b| \cdot |a + b|}}\)
Подставляем численные значения:
\(cos(θ) = \frac{{120 \cdot 120}}{{|120| \cdot |120|}} = \frac{{14400}}{{14400}} = 1\)
Значение cos(θ) равно 1, что означает, что угол между векторами является острым.

3. Для пары векторов 2a - b и a + 2b:
\(cos(θ) = \frac{{(2a - b) \cdot (a + 2b)}}{{|2a - b| \cdot |a + 2b|}}\)
Подставляем численные значения:
\(cos(θ) = \frac{{120 \cdot 180}}{{|120| \cdot |180|}} = \frac{{21600}}{{21600}} = 1\)
Значение cos(θ) равно 1, что означает, что угол между векторами является острым.

4. Для пары векторов 2a - b и 2a + b:
\(cos(θ) = \frac{{(2a - b) \cdot (2a + b)}}{{|2a - b| \cdot |2a + b|}}\)
Подставляем численные значения:
\(cos(θ) = \frac{{120 \cdot 300}}{{|120| \cdot |300|}} = \frac{{36000}}{{36000}} = 1\)
Значение cos(θ) равно 1, что означает, что угол между векторами является острым.

5. Для пары векторов 3a - b и a + b:
\(cos(θ) = \frac{{(3a - b) \cdot (a + b)}}{{|3a - b| \cdot |a + b|}}\)
Подставляем численные значения:
\(cos(θ) = \frac{{180 \cdot 120}}{{|180| \cdot |120|}} = \frac{{21600}}{{21600}} = 1\)
Значение cos(θ) равно 1, что означает, что угол между векторами является острым.

6. Для пары векторов 3a - b и a + 2b:
\(cos(θ) = \frac{{(3a - b) \cdot (a + 2b)}}{{|3a - b| \cdot |a + 2b|}}\)
Подставляем численные значения:
\(cos(θ) = \frac{{180 \cdot 180}}{{|180| \cdot |180|}} = \frac{{32400}}{{32400}} = 1\)
Значение cos(θ) равно 1, что означает, что угол между векторами является острым.

Итак, ответом на задачу являются пары векторов: 2a - b и a + b, 2a - b и a + 2b, 2a - b и 2a + b, 3a - b и a + b, 3a - b и a + 2b.