Какова вероятность того, что из трех учеников, которые ответили на вопросы учителя, двое были мальчиками, а один

Mihaylovna

51

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать комбинаторику и представить все возможные варианты ответов трех учеников.

Давайте рассмотрим возможные варианты, когда два ученика - мальчики, а один - девочка. Сначала выбираем двух мальчиков из 20 мальчиков, для этого мы можем использовать формулу сочетаний \(C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), где \(n\) - общее количество объектов (мальчиков), \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем (два мальчика).

Таким образом, количество способов выбрать двух мальчиков из 20 мальчиков составляет \(C(20, 2) = \frac{{20!}}{{2!(20-2)!}} = \frac{{20!}}{{2! \cdot 18!}} = \frac{{20 \cdot 19}}{{2!}} = 190\).

После этого мы должны выбрать одну девочку из 10 девочек, для этого также можно использовать формулу сочетаний. Таким образом, количество способов выбрать одну девочку из 10 девочек составляет \(C(10, 1) = \frac{{10!}}{{1!(10-1)!}} = \frac{{10!}}{{1! \cdot 9!}} = \frac{{10}}{{1}} = 10\).

Теперь мы должны рассмотреть общее количество возможных вариантов ответов трех учеников. Общее количество способов ответа трех учеников из общего числа учеников (30) можно рассчитать также с использованием формулы сочетаний: \(C(30, 3) = \frac{{30!}}{{3!(30-3)!}} = \frac{{30!}}{{3! \cdot 27!}} = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28}}{{3!}} = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28}}{{6}} = 4060\).

Для того чтобы вычислить вероятность, что из трех учеников двое были мальчиками и один - девочкой, нам нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[
P = \frac{{\text{{Количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{Общее количество возможных исходов}}}} = \frac{{190 \cdot 10}}{{4060}} = \frac{{1900}}{{4060}} \approx 0.468
\]

Таким образом, вероятность того, что из трех учеников двое были мальчиками, а один - девочкой, составляет приблизительно 0.468 или около 46.8%.