Какова длина прямоугольного треугольника, если площадь равна 216, а гипотенуза делится в отношении 2:3 в точке касания

Чернышка

67

Ок, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом давайте установим данную информацию. У нас есть прямоугольный треугольник с площадью 216, а гипотенуза делится в отношении 2:3 в точке касания с вписанной окружностью.

Вторым шагом давайте обозначим неизвестные величины. Пусть длина катета, на котором находится точка касания, будет равна x, а длина другого катета - y.

Третьим шагом давайте определим формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, то есть \(\frac{1}{2} \cdot x \cdot y\).

Четвертым шагом, используя данную информацию, мы можем записать уравнение \(216 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\).

Пятый шаг - мы знаем, что гипотенуза делится в отношении 2:3. Это означает, что \(x = \frac{2}{5}\) гипотенузы (потому что 2:3 это то же самое, что и \(\frac{2}{5}:\frac{3}{5}\)) и \(y = \frac{3}{5}\) гипотенузы. Мы можем записать это уравнение как \(x = \frac{2}{5} \cdot h\) и \(y = \frac{3}{5} \cdot h\), где h - длина гипотенузы.

Шестым шагом подставим эти значения в уравнение для площади и решим его: \(216 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}h \cdot \frac{3}{5}h\).

Выполнив вычисления, мы получим уравнение \(216 = \frac{6}{50}h^2\), которое можно упростить до \(\frac{6}{50}h^2 = 216\).

Следующий шаг - умножим обе части уравнения на \(\frac{50}{6}\), чтобы убрать дробь: \(h^2 = \frac{216 \cdot 50}{6}\).

Затем возьмем квадратный корень от обеих частей, чтобы найти длину гипотенузы: \(h = \sqrt{\frac{216 \cdot 50}{6}}\).

Раскрыв скобки, мы получим \(h \approx 28.99\).

Итак, длина гипотенузы примерно равна 28.99.

Наконец, чтобы найти длины катетов, мы можем подставить эти значения в уравнения \(x = \frac{2}{5} \cdot h\) и \(y = \frac{3}{5} \cdot h\).

Выполнив вычисления, мы получим \(x \approx 11.59\) и \(y \approx 17.39\).

Итак, длина катета x примерно равна 11.59, а длина катета y примерно равна 17.39.

Мы окончили решение задачи. Длина прямоугольного треугольника равна примерно 11.59 и 17.39, а длина гипотенузы - примерно 28.99.