Какова длина прямоугольного треугольника, если площадь равна 216, а гипотенуза делится в отношении 2:3 в точке касания

Чернышка

67

Ок, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом давайте установим данную информацию. У нас есть прямоугольный треугольник с площадью 216, а гипотенуза делится в отношении 2:3 в точке касания с вписанной окружностью.

Вторым шагом давайте обозначим неизвестные величины. Пусть длина катета, на котором находится точка касания, будет равна x, а длина другого катета - y.

Третьим шагом давайте определим формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, то есть $\frac{1}{2}\cdot x\cdot y$.

Четвертым шагом, используя данную информацию, мы можем записать уравнение $216=\frac{1}{2}\cdot x\cdot y$.

Пятый шаг - мы знаем, что гипотенуза делится в отношении 2:3. Это означает, что $x=\frac{2}{5}$ гипотенузы (потому что 2:3 это то же самое, что и $\frac{2}{5}:\frac{3}{5}$) и $y=\frac{3}{5}$ гипотенузы. Мы можем записать это уравнение как $x=\frac{2}{5}\cdot h$ и $y=\frac{3}{5}\cdot h$, где h - длина гипотенузы.

Шестым шагом подставим эти значения в уравнение для площади и решим его: $216=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}h\cdot \frac{3}{5}h$.

Выполнив вычисления, мы получим уравнение $216=\frac{6}{50}{h}^2$, которое можно упростить до $\frac{6}{50}{h}^2=216$.

Следующий шаг - умножим обе части уравнения на $\frac{50}{6}$, чтобы убрать дробь: $h^2=\frac{216\cdot 50}{6}$.

Затем возьмем квадратный корень от обеих частей, чтобы найти длину гипотенузы: $h=\sqrt{\frac{216\cdot 50}{6}}$.

Раскрыв скобки, мы получим $h\approx 28.99$.

Итак, длина гипотенузы примерно равна 28.99.

Наконец, чтобы найти длины катетов, мы можем подставить эти значения в уравнения $x=\frac{2}{5}\cdot h$ и $y=\frac{3}{5}\cdot h$.

Выполнив вычисления, мы получим $x\approx 11.59$ и $y\approx 17.39$.

Итак, длина катета x примерно равна 11.59, а длина катета y примерно равна 17.39.

Мы окончили решение задачи. Длина прямоугольного треугольника равна примерно 11.59 и 17.39, а длина гипотенузы - примерно 28.99.