Укажите интервалы монотонности для следующих функций. Подсказка: у = 5 x 3 – 4 Функция возрастает на всем интервале

Zagadochnyy_Paren_3097

47

Для решения задачи, нам нужно найти интервалы монотонности функций \( y = 5x^3 - 4 \), \( y = 4x^2 + x - 5 \) и \( y = -5x^2 \).

Давайте начнем с функции \( y = 5x^3 - 4 \):
Чтобы определить интервалы монотонности, нам нужно найти производную функции. Будем дифференцировать функцию с помощью правила степенной функции.

1. Найдем производную функции:
\[ y" = 15x^2 \]

2. Решим уравнение \( y" = 0 \) чтобы найти критические точки:
\[ 15x^2 = 0 \]
\[ x = 0 \]

Переменная \( x \) равна 0 - это наша единственная критическая точка.

3. Теперь выберем случайную точку в каждом интервале, образованным критическими точками.

Для интервала \((-\infty, 0)\) давайте возьмем \( x = -1 \).
Для интервала \((0, +\infty)\) давайте возьмем \( x = 1 \).

4. Подставим выбранные точки в производную и определим знак:

При \( x = -1 \):
\[ y"(-1) = 15(-1)^2 = 15 > 0 \]

При \( x = 1 \):
\[ y"(1) = 15(1)^2 = 15 > 0 \]

Таким образом, функция \( y = 5x^3 - 4 \) возрастает на всем интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\).

Теперь перейдем к функции \( y = 4x^2 + x - 5 \):
Снова найдем производную функции.

1. Найдем производную функции:
\[ y" = 8x + 1 \]

2. Решим уравнение \( y" = 0 \) чтобы найти критические точки:
\[ 8x + 1 = 0 \]
\[ x = -\frac{1}{8} \]

Переменная \( x \) равна -1/8 - это наша единственная критическая точка.

3. Теперь выберем случайную точку в каждом интервале, образованным критическими точками.

Для интервала \((-\infty, -\frac{1}{8} )\) давайте возьмем \( x = -1 \).
Для интервала \((-\frac{1}{8}, +\infty )\) давайте возьмем \( x = 0 \).

4. Подставим выбранные точки в производную и определим знак:

При \( x = -1 \):
\[ y"(-1) = 8(-1) + 1 = -7 < 0 \]

При \( x = 0 \):
\[ y"(0) = 8(0) + 1 = 1 > 0 \]

Таким образом, функция \( y = 4x^2 + x - 5 \) возрастает на интервале \((-\infty, -\frac{1}{8} )\) и убывает на интервале \((-\frac{1}{8}, +\infty )\).

Наконец, рассмотрим функцию \( y = -5x^2 \):

1. Найдем производную функции:
\[ y" = -10x \]

2. Решим уравнение \( y" = 0 \) чтобы найти критические точки:
\[ -10x = 0 \]
\[ x = 0 \]

Переменная \( x \) равна 0 - это наша единственная критическая точка.

3. Теперь выберем случайную точку в каждом интервале, образованным критическими точками.

Для интервала \((-\infty, 0 )\) давайте возьмем \( x = -1 \).
Для интервала \((0, +\infty )\) давайте возьмем \( x = 1 \).

4. Подставим выбранные точки в производную и определим знак:

При \( x = -1 \):
\[ y"(-1) = -10(-1) = 10 > 0 \]

При \( x = 1 \):
\[ y"(1) = -10(1) = -10 < 0 \]

Таким образом, функция \( y = -5x^2 \) возрастает на интервале \((-\infty, 0 )\) и убывает на интервале \((0, +\infty )\).

Итак, интервалы монотонности для данных функций следующие:
1. Функция \( y = 5x^3 - 4 \) возрастает на всем интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\).
2. Функция \( y = 4x^2 + x - 5 \) возрастает на интервале \((-\infty, -\frac{1}{8} )\) и убывает на интервале \((-\frac{1}{8}, +\infty )\).
3. Функция \( y = -5x^2 \) возрастает на интервале \((-\infty, 0 )\) и убывает на интервале \((0, +\infty )\).