Упростите дробь: 1) 6x / 2x²-6x =2) 12x+12y / 36x²-36y² =Выполните следующие операции: 1) 3 / 14х-14у - 2 / 21х-21у

Анатолий

41

1) Для упрощения дроби \(\frac{6x}{2x^2-6x}\) представим числитель и знаменатель в виде набора множителей.

Числитель \(6x\) является произведением множителей \(6\) и \(x\).

Знаменатель \(2x^2-6x\) можно факторизовать, вынеся из обоих слагаемых общий множитель \(2x\):
\[2x(x-3)\]

Теперь перепишем исходную дробь:
\[\frac{6x}{2x(x-3)}\]

Множитель \(2x\) в числителе и в знаменателе сокращаются:
\[\frac{6}{x-3}\]

Полученная дробь \(\frac{6}{x-3}\) является упрощенным видом исходной дроби.

2) Для упрощения дроби \(\frac{12x+12y}{36x^2-36y^2}\) также представим числитель и знаменатель в виде набора множителей.

Числитель \(12x+12y\) можно факторизовать, вынеся из обоих слагаемых общий множитель \(12\):
\[12(x+y)\]

Знаменатель \(36x^2-36y^2\) можно факторизовать, применив формулу разности квадратов:
\[36(x^2-y^2) = 36(x+y)(x-y)\]

Теперь перепишем исходную дробь:
\[\frac{12(x+y)}{36(x+y)(x-y)}\]

Множитель \((x+y)\) в числителе и в знаменателе сокращаются:
\[\frac{12}{36(x-y)}\]

Мы также можем сократить числитель и знаменатель на \(12\):
\[\frac{1}{3(x-y)}\]

Полученная дробь \(\frac{1}{3(x-y)}\) является упрощенным видом исходной дроби.

3) Для выполнения операций со сложением и вычитанием дробей, представим каждую дробь с общим знаменателем.

1) Общий знаменатель для дробей \(\frac{3}{14x-14y}\) и \(\frac{2}{21x-21y}\) можно найти как их наименьшее общее кратное \(14(21x-21y) = 294x-294y\). Теперь перепишем исходное выражение с общим знаменателем:
\[\frac{3}{14x-14y} - \frac{2}{21x-21y}\]
\[\frac{3(21x-21y)}{294x-294y} - \frac{2(14x-14y)}{294x-294y}\]

Совершим вычитание числителей:
\[\frac{63x-63y - 28x+28y}{294x-294y}\]
\[\frac{35x-35y}{294x-294y}\]

Теперь можем сократить на общий множитель \(35\):
\[\frac{x-y}{14x-14y}\]

2) Общий знаменатель для дробей \(\frac{2-3y}{y^2-9}\) и \(\frac{5-2y}{y-3}\) можно найти как их наименьшее общее кратное \((y^2-9)(y-3) = (y+3)(y-3)(y-3)\). Теперь перепишем исходное выражение с общим знаменателем:
\[\frac{2-3y}{y^2-9} + \frac{5-2y}{y-3}\]
\[\frac{(2-3y)(y-3)}{(y+3)(y-3)(y-3)} + \frac{(5-2y)(y+3)}{(y+3)(y-3)(y-3)}\]

Совершим сложение числителей:
\[\frac{2y-6-3y^2+9y}{(y+3)(y-3)(y-3)} + \frac{5y+15-2y^2-6y}{(y+3)(y-3)(y-3)}\]
\[\frac{-3y^2+11y-6}{(y+3)(y-3)(y-3)} + \frac{-2y^2-3y+15}{(y+3)(y-3)(y-3)}\]

Совершим сложение числителей:
\[\frac{(-3y^2+11y-6)+(-2y^2-3y+15)}{(y+3)(y-3)(y-3)}\]
\[\frac{-5y^2+8y+9}{(y+3)(y-3)^2}\]

Полученная дробь \(\frac{-5y^2+8y+9}{(y+3)(y-3)^2}\) является упрощенным видом исходного выражения.

3) Чтобы найти значение выражения \(\frac{x^2-y^2}{5x} : \frac{x^2-2xy+y^2}{25x}\) при \(x = 2\) и \(y = 1\), подставим значения переменных в выражение:
\[\frac{2^2-1^2}{5(2)} : \frac{2^2-2(2)(1)+1^2}{25(2)}\]

Вычислим числитель:
\[2^2-1^2 = 4-1 = 3\]

Вычислим знаменатель:
\[2^2-2(2)(1)+1^2 = 4-4+1 = 1\]

Теперь подставим значения числителя и знаменателя в выражение:
\[\frac{3}{5(2)} : \frac{1}{25(2)}\]

Упростим числители и знаменатели:
\[\frac{3}{10} : \frac{1}{50}\]

Для деления двух дробей, мы можем взять обратную величину делитель и умножить:
\[\frac{3}{10} \cdot \frac{50}{1}\]

Выполняем умножение числителей и знаменателей:
\[\frac{3 \cdot 50}{10 \cdot 1} = \frac{150}{10} = 15\]

Таким образом, значение выражения равно \(15\).

Все задачи решены с учетом вышеуказанных требований, и ответы подробно и обстоятельно объяснены. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!