1. Rewrite the coefficient matrix A and the free vector b of the system of equations. 2. Calculate the determinant

Lunnyy_Renegat_7151

32

Хорошо, давайте начнем с данной системы уравнений:

\[ \begin{align*}
2x + 3y - z &= 4 \\
x - 2y + 2z &= -1 \\
3x + y - 3z &= 5 \\
\end{align*} \]

1. Для начала перепишем матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов b системы уравнений.

Матрица коэффициентов A:

\[ A = \begin{bmatrix}
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
3 & 1 & -3 \\
\end{bmatrix} \]

Вектор свободных членов b:

\[ b = \begin{bmatrix}
4 \\
-1 \\
5 \\
\end{bmatrix} \]

2. Теперь рассчитаем определитель матрицы A с помощью разложения по строке или по столбцу.

Давайте воспользуемся разложением по первой строке матрицы A:

\[ \begin{align*}
\det(A) &= 2 \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} - 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \\
&= 2 \cdot (-2 \cdot (-3) - 2 \cdot 1) - 3 \cdot (1 \cdot (-3) - 2 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-2) \cdot 3) \\
&= 2 \cdot (-4) - 3 \cdot (-9) - 1 \cdot (1 + 6) \\
&= -8 + 27 - 7 \\
&= 12 \\
\end{align*} \]

Таким образом, определитель матрицы A равен 12.

3. Теперь найдем решение системы уравнений с помощью формул Крамера.

Давайте найдем значения переменных x, y и z по следующим формулам:

\[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, \quad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}, \]

где:

Матрица A_x получается заменой первого столбца матрицы A на вектор b:

\[ A_x = \begin{bmatrix}
4 & 3 & -1 \\
-1 & -2 & 2 \\
5 & 1 & -3 \\
\end{bmatrix} \]

Матрица A_y получается заменой второго столбца матрицы A на вектор b:

\[ A_y = \begin{bmatrix}
2 & 4 & -1 \\
1 & -1 & 2 \\
3 & 5 & -3 \\
\end{bmatrix} \]

Матрица A_z получается заменой третьего столбца матрицы A на вектор b:

\[ A_z = \begin{bmatrix}
2 & 3 & 4 \\
1 & -2 & -1 \\
3 & 1 & 5 \\
\end{bmatrix} \]

Рассчитаем значения переменных:

\[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{
\begin{vmatrix}
4 & 3 & -1 \\
-1 & -2 & 2 \\
5 & 1 & -3 \\
\end{vmatrix}
}{12} \]

\[ y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{
\begin{vmatrix}
2 & 4 & -1 \\
1 & -1 & 2 \\
3 & 5 & -3 \\
\end{vmatrix}
}{12} \]

\[ z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4 \\
1 & -2 & -1 \\
3 & 1 & 5 \\
\end{vmatrix}
}{12} \]

4. Далее решим систему уравнений с помощью метода Гаусса.

Приведем систему уравнений к расширенной матрице [A|b] и выполним элементарные преобразования строк для приведения матрицы A к ступенчатому виду:

\[ \begin{bmatrix}
2 & 3 & -1 & \vert & 4 \\
1 & -2 & 2 & \vert & -1 \\
3 & 1 & -3 & \vert & 5 \\
\end{bmatrix} \]

Выполним элементарные преобразования строк:

Элементарное преобразование I строка = I строка - 2 * II строка:

\[ \begin{bmatrix}
0 & 7 & -5 & \vert & 6 \\
1 & -2 & 2 & \vert & -1 \\
3 & 1 & -3 & \vert & 5 \\
\end{bmatrix} \]

Элементарное преобразование III строка = III строка - 3 * II строка:

\[ \begin{bmatrix}
0 & 7 & -5 & \vert & 6 \\
1 & -2 & 2 & \vert & -1 \\
0 & 7 & -9 & \vert & 8 \\
\end{bmatrix} \]

Элементарное преобразование III строка = III строка - I строка:

\[ \begin{bmatrix}
0 & 7 & -5 & \vert & 6 \\
1 & -2 & 2 & \vert & -1 \\
0 & 0 & -4 & \vert & 2 \\
\end{bmatrix} \]

Из последней матрицы можно получить значения переменных:

\[ -4z = 2 \Rightarrow z = -\frac{1}{2} \]

\[ 7y - 5z = 6 \Rightarrow y = \frac{17}{14} \]

\[ 0x + 7y - 5z = 6 \Rightarrow x = \frac{19}{14} \]

Таким образом, решение системы уравнений с помощью метода Гаусса: x = 19/14, y = 17/14, z = -1/2.

5. Определим ранг матрицы A.

Ранг матрицы определяется как максимальное количество линейно независимых строк или столбцов в матрице.

Преобразуем матрицу A к ступенчатому виду:

\[ \begin{bmatrix}
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
3 & 1 & -3 \\
\end{bmatrix} \Rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 2 \\
0 & 7 & -5 \\
0 & 0 & -4 \\
\end{bmatrix} \]

Матрица A имеет третью строку, которая выражается через первую строку (умноженную на 3/5) и вторую строку (умноженную на 4/5). При этом первая и вторая строки являются линейно независимыми. Следовательно, ранг матрицы A равен 2.

6. Вычислим обратную матрицу A^(-1).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся следующей формулой:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A), \]

где adj(A) - это матрица союзных алгебраических дополнений, получаемая из матрицы A путем замены каждого элемента на его алгебраическое дополнение и транспонирования.

Вычислим adj(A):

\[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
-10 & -4 & 1 \\
-15 & -5 & 3 \\
-7 & -3 & 2 \\
\end{bmatrix} \]

Теперь вычислим обратную матрицу:

\[ A^{-1} = \frac{1}{12} \cdot \begin{bmatrix}
-10 & -4 & 1 \\
-15 & -5 & 3 \\
-7 & -3 & 2 \\
\end{bmatrix} \]

7. Наконец, решим систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Для этого умножим обратную матрицу A^(-1) на вектор свободных членов b:

\[ \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix} = A^{-1} \cdot b \]

Подставим значения обратной матрицы и вектора b:

\[ \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{12} \cdot \begin{bmatrix}
-10 & -4 & 1 \\
-15 & -5 & 3 \\
-7 & -3 & 2 \\
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
4 \\
-1 \\
5 \\
\end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{12} \cdot \begin{bmatrix}
(-10 \cdot 4) + (-4 \cdot -1) + (1 \cdot 5) \\
(-15 \cdot 4) + (-5 \cdot -1) + (3 \cdot 5) \\
(-7 \cdot 4) + (-3 \cdot -1) + (2 \cdot 5) \\
\end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{12} \cdot \begin{bmatrix}
23 \\
38 \\
11 \\
\end{bmatrix} \]

Таким образом, решение системы уравнений с помощью обратной матрицы: x = 23/12, y = 19/6, z = 11/12.

Надеюсь, этот подробный ответ помог Вам лучше понять данную систему уравнений и способы ее решения! Если у Вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь и задавайте их. Я всегда готов помочь!