Уравнение окружности x2+y2=16 и уравнение прямой x=a. Найдите значения a, при которых: 1. Прямая пересекает окружность

Ledyanoy_Samuray

44

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно:

1. Прямая пересекает окружность в одной точке.

Для начала, чтобы прямая пересекала окружность, ее уравнение должно иметь решение. Заменим значение \(x\) в уравнении окружности на \(a\) и решим уравнение:

\[a^2 + y^2 = 16\]

В этом случае, чтобы уравнение имело только одно решение, прямая должна быть касательной к окружности. Касательная прямая имеет всего одну общую точку с окружностью. Решим это уравнение с учетом ограничения, что прямая является касательной:

\[a^2 + y^2 = 16\]
\[2a + 2y \cdot \frac{dy}{da} = 0\]

Выразим \(\frac{dy}{da}\) из второго уравнения и подставим в первое:

\[a^2 + y^2 = 16\]
\[2a + 2y \cdot \frac{-a}{y} = 0\]
\[a^2 - a^2 = 16\]
\[0 = 16\]

Мы получили противоречие. Значит, при данном условии прямая не пересекает окружность в одной точке.

2. Прямая пересекает окружность в двух точках.

Продолжая решение, попробуем найти значения \(a\), при которых прямая пересекает окружность в двух точках. Это означает, что уравнение окружности и прямая будут иметь два решения.

Заменим значение \(x\) в уравнении окружности на \(a\) и решим уравнение:

\[a^2 + y^2 = 16\]

Для того чтобы прямая пересекала окружность в двух точках, уравнение прямой должно быть «между» двумя касательными линиями или иметь свойство, что окружность пересекает прямую дважды. Решим это уравнение с учетом ограничения на два решения:

\[a = \pm 4\]

Значит, когда \(a = -4\) или \(a = 4\), прямая будет пересекать окружность в двух точках.

3. Прямая не пересекает окружность.

Наконец, найдем значения \(a\), при которых прямая не пересекает окружность. Это означает, что уравнение прямой не будет иметь решений с уравнением окружности.

Заменим значение \(x\) в уравнении окружности на \(a\) и решим уравнение:

\[a^2 + y^2 = 16\]

Если уравнение прямой не будет иметь решений с уравнением окружности, это означает, что прямая будет находиться выше или ниже окружности и не будет пересекать ее. Так происходит, когда значение \(a\) не выходит за границы отрезка \([-4, 4]\). То есть:

\(-4 \leq a \leq 4\)

Таким образом, прямая не будет пересекать окружность, когда \(a\) принимает любое значение внутри или на границах этого отрезка.

Итак, получаем ответы на задачу:

1. Прямая пересекает окружность в одной точке: нет решений.
2. Прямая пересекает окружность в двух точках: \(a = -4\) или \(a = 4\).
3. Прямая не пересекает окружность: \(-4 \leq a \leq 4\).