Устройство содержит 4 лампы. Вероятность выхода из строя каждой лампы за год составляет 1/6. Какова вероятность замены

Zagadochnyy_Les

9

Чтобы найти вероятность замены двух ламп за год, мы можем воспользоваться комбинаторикой и вероятностью.

Для начала, давайте выясним вероятность того, что одна лампа выйдет из строя за год. По условию, вероятность выхода из строя одной лампы составляет 1/6.

Теперь давайте рассмотрим вероятность того, что две лампы выйдут из строя за год. Мы можем считать эти две лампы несовместными событиями - то есть, одна лампа может выйти из строя, а затем другая.

Для нахождения вероятности такого происшествия, нам нужно перемножить вероятности выхода каждой лампы из строя. В данном случае у нас есть 4 лампы, и нам нужно выбрать 2 из них, чтобы вышли из строя.

Для этого мы можем использовать формулу сочетаний. Формула сочетаний для выбора k элементов из n элементов выглядит следующим образом:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где n! обозначает факториал числа n - произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

В нашем случае, n равно 4 (количество ламп) и k равно 2 (количество ламп, которые мы хотим заменить).

Подставив эти значения в формулу, мы получаем:

\[
C(4,2) = \frac{{4!}}{{2!(4-2)!}} = \frac{{4!}}{{2!2!}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}} = 6
\]

Таким образом, у нас есть 6 различных способов выбрать 2 лампы из 4 для их замены.

Теперь мы можем умножить это число на вероятность каждого события (выхода из строя каждой лампы):

\[
6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
\]

Таким образом, вероятность замены двух ламп за год составляет 1/6.

Это решение основано на предположении, что отказ каждой лампы является независимым событием, и что вероятность каждого события остается постоянной на протяжении года.