Утверждается ли, что график функции f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 строго возрастает на всем числовом промежутке?

  • 11
Утверждается ли, что график функции f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 строго возрастает на всем числовом промежутке?
Ledyanoy_Samuray
23
Чтобы определить, строго возрастает ли функция f(x)=2x33x2+6x+1 на всем числовом промежутке, нужно проанализировать ее производную. Если производная положительна на всем промежутке, то функция будет строго возрастать.

Давайте найдем производную функции f(x):
f"(x)=6x26x+6

Теперь нам нужно решить неравенство f"(x)>0 для определения интервалов, на которых производная положительна.

Решим неравенство:
6x26x+6>0

Сначала вынесем общий множитель из всех членов:
6(x2x+1)>0

Выражение в скобках является квадратным трехчленом, который не имеет действительных корней. Это означает, что он всегда положителен или всегда отрицателен.

Таким образом, нам нужно определить знак выражения x2x+1 для определения знака производной.

Для этого выполним анализ дискриминанта квадратного трехчлена:
D=(1)2411=14=3

Так как дискриминант отрицателен, это означает, что квадратный трехчлен x2x+1 всегда положителен.

Теперь, когда мы знаем знак выражения x2x+1, мы можем сделать вывод:

Выражение f"(x)=6(x2x+1) всегда положительно для любого значения x.

Это означает, что производная функции f(x) всегда положительна, что свидетельствует о том, что функция строго возрастает на всем числовом промежутке.

Таким образом, утверждение о том, что график функции f(x)=2x33x2+6x+1 строго возрастает на всем числовом промежутке, является верным.