Утверждается ли, что график функции f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 строго возрастает на всем числовом промежутке?

Ledyanoy_Samuray

23

Чтобы определить, строго возрастает ли функция \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 1\) на всем числовом промежутке, нужно проанализировать ее производную. Если производная положительна на всем промежутке, то функция будет строго возрастать.

Давайте найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 6x^2 - 6x + 6\]

Теперь нам нужно решить неравенство \(f"(x) > 0\) для определения интервалов, на которых производная положительна.

Решим неравенство:
\[6x^2 - 6x + 6 > 0\]

Сначала вынесем общий множитель из всех членов:
\[6(x^2 - x + 1) > 0\]

Выражение в скобках является квадратным трехчленом, который не имеет действительных корней. Это означает, что он всегда положителен или всегда отрицателен.

Таким образом, нам нужно определить знак выражения \(x^2 - x + 1\) для определения знака производной.

Для этого выполним анализ дискриминанта квадратного трехчлена:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\]

Так как дискриминант отрицателен, это означает, что квадратный трехчлен \(x^2 - x + 1\) всегда положителен.

Теперь, когда мы знаем знак выражения \(x^2 - x + 1\), мы можем сделать вывод:

Выражение \(f"(x) = 6(x^2 - x + 1)\) всегда положительно для любого значения \(x\).

Это означает, что производная функции \(f(x)\) всегда положительна, что свидетельствует о том, что функция строго возрастает на всем числовом промежутке.

Таким образом, утверждение о том, что график функции \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 1\) строго возрастает на всем числовом промежутке, является верным.