В городе есть 10 коммерческих банков. У каждого из них есть 10% вероятность банкротства в течение года. А) Каково

Сквозь_Лес

17

А) Для того чтобы определить распределение числа банков, которые могут обанкротиться в следующем году, мы можем использовать распределение Бернулли. Распределение Бернулли применяется в случаях, когда есть только два возможных исхода: успех (в данном случае банкротство) или неудача (отсутствие банкротства).

Вероятность банкротства для каждого банка составляет 10%, что означает, что вероятность успеха, обозначенная как p, равна 0.10, а вероятность неудачи, обозначенная как q, равна 0.90.

Мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности того, что именно k из 10 банков обанкротятся. Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

Где P(X=k) - вероятность того, что k банков обанкротятся, C(n,k) - количество сочетаний из n по k, p - вероятность успеха (банкротства), q - вероятность неудачи (отсутствия банкротства), n - общее количество банков (в данном случае 10).

Теперь давайте построим график, который покажет распределение числа банков, которые могут обанкротиться, начиная от 0 до 10.

\[P(X=0) = C(10,0) \cdot 0.10^0 \cdot 0.90^{10-0} = 0.90^{10} \approx 0.3487\]
\[P(X=1) = C(10,1) \cdot 0.10^1 \cdot 0.90^{10-1} = 0.90^9 \cdot 10 \approx 0.3874\]
\[P(X=2) = C(10,2) \cdot 0.10^2 \cdot 0.90^{10-2} = 0.90^8 \cdot \frac{10 \cdot 9}{2} \approx 0.1937\]
\[P(X=3) = C(10,3) \cdot 0.10^3 \cdot 0.90^{10-3} = 0.90^7 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2} \approx 0.0574\]
\[P(X=4) = C(10,4) \cdot 0.10^4 \cdot 0.90^{10-4} = 0.90^6 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2} \approx 0.0116\]
\[P(X=5) = C(10,5) \cdot 0.10^5 \cdot 0.90^{10-5} = 0.90^5 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \approx 0.0016\]
\[P(X=6) = C(10,6) \cdot 0.10^6 \cdot 0.90^{10-6} = 0.90^4 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \approx 0.0001\]
\[P(X=7) = C(10,7) \cdot 0.10^7 \cdot 0.90^{10-7} = 0.90^3 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \approx 0.0000\]
\[P(X=8) = C(10,8) \cdot 0.10^8 \cdot 0.90^{10-8} = 0.90^2 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \approx 0.0000\]
\[P(X=9) = C(10,9) \cdot 0.10^9 \cdot 0.90^{10-9} = 0.90^1 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \approx 0.0000\]
\[P(X=10) = C(10,10) \cdot 0.10^{10} \cdot 0.90^{10-10} = 0.90^0 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 0.10^{10} \approx 0.0000\]

Теперь, когда у нас есть вероятности для каждого значения \(X\), мы можем нарисовать график распределения числа банков, которые могут обанкротиться.