В каких интервалах функция y=6x-x² является постоянной по знаку? Если возможно, пожалуйста, объясните свой ответ

Мороженое_Вампир

67

Решим данную задачу пошагово. Для начала, заметим, что данная функция является параболой с ветвями, направленными вниз. Наша задача состоит в определении интервалов, на которых функция является постоянной по знаку.

Для этого необходимо найти значения функции на различных интервалах и сравнить их с нулем, так как у нас есть парабола и знаки значений функции будут зависеть от положения точек относительно оси абсцисс.

Шаг 1: Найдем вершину параболы. Вершина параболы задается координатами \((h, k)\), где \(h\) - абсцисса вершины, а \(k\) - ордината вершины. Для нашей функции, вершина будет находиться в точке, где ось симметрии параболы пересекает ось абсцисс. Уравнение оси симметрии имеет вид \(x = -\frac{b}{2a}\), где у нас \(a = -1\) и \(b = 6\). Подставляя значения в формулу, получаем \(x = -\frac{6}{2(-1)} = \frac{6}{2} = 3\). Таким образом, вершина параболы находится в точке \((3, y)\).

Шаг 2: Найдем значение функции в вершине параболы. Подставим \(x = 3\) в уравнение \(y = 6x - x^2\). Получаем \(y = 6(3) - (3)^2 = 18 - 9 = 9\).

Шаг 3: Разделим интервалы над осью абсцисс и интервалы под осью абсцисс. Сначала рассмотрим интервалы над осью абсцисс, где значения функции положительны.

Шаг 4: Возьмем любую точку из интервала между \(-\infty\) и \(3\). Например, возьмем \(x = 2\). Подставим данное значение в уравнение \(y = 6x - x^2\). Получаем \(y = 6(2) - (2)^2 = 12 - 4 = 8\). Значит, на интервале \(-\infty < x < 3\), функция положительна.

Шаг 5: Возьмем любую точку из интервала между \(3\) и \(+\infty\). Например, возьмем \(x = 4\). Подставим данное значение в уравнение \(y = 6x - x^2\). Получаем \(y = 6(4) - (4)^2 = 24 - 16 = 8\). Значит, на интервале \(3 < x < +\infty\), функция положительна.

Шаг 6: Теперь рассмотрим интервалы под осью абсцисс, где значения функции отрицательны.

Шаг 7: Возьмем любую точку из интервала \((-\infty, 3)\). Например, возьмем \(x = 1\). Подставим данное значение в уравнение \(y = 6x - x^2\). Получаем \(y = 6(1) - (1)^2 = 6 - 1 = 5\). Значит, на интервале \((-\infty, 3)\), функция отрицательна.

Шаг 8: Возьмем любую точку из интервала \((3, +\infty)\). Например, возьмем \(x = 5\). Подставим данное значение в уравнение \(y = 6x - x^2\). Получаем \(y = 6(5) - (5)^2 = 30 - 25 = 5\). Значит, на интервале \((3, +\infty)\), функция отрицательна.

Таким образом, функция \(y = 6x - x^2\) является постоянной по знаку на интервалах \((-\infty, 3)\) и \((3, +\infty)\), где значение функции отрицательно, а на интервалах \(-\infty < x < 3\) и \(3 < x < +\infty\), где значение функции положительно.