В каких интервалах происходит увеличение функции y=2x^5-5x^4?

Паровоз_5309

24

Чтобы определить интервалы, в которых функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) увеличивается, нам понадобится проанализировать её производную. Интервалы роста функции соответствуют значениям \(x\), для которых производная положительна.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = 2x^5 - 5x^4\). Для этого возьмем производную каждого члена и применим правило дифференцирования степенной функции:
\[y" = \frac{d}{dx}(2x^5) - \frac{d}{dx}(5x^4)\]
\[y" = 10x^4 - 20x^3\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для определения критических точек функции:
\[10x^4 - 20x^3 = 0\]
\[10x^3(x-2) = 0\]
Из этого уравнения получаем две критические точки: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Шаг 3: Построим таблицу знаков производной \(y"\), определив интервалы, на которых она положительна или отрицательна.

\[
\begin{array}{c|ccc}
& x < 0 & 0 < x < 2 & x > 2 \\
\hline
y" & - & + & +
\end{array}
\]

Таким образом, производная \(y"\) положительна на интервале \(0 < x < 2\), что означает, что функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) увеличивается на этом интервале.

Итак, интервалы, в которых функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) увеличивается, - это \((0, 2)\).