Каково значение выражения (кос²67,5°-кос²22,5°)·кос67,5°·кос22,5°?

Ameliya

40

Для решения данной задачи, давайте разобьем выражение на несколько частей и рассмотрим каждую из них по отдельности.

Первая часть выражения (кос²67,5°-кос²22,5°) может быть рассмотрена с помощью формулы разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). В данном случае \(a = \cos(67,5^{\circ})\) и \(b = \cos(22,5^{\circ})\), поэтому можно записать:
\[\cos^2(67,5^{\circ}) - \cos^2(22,5^{\circ}) = (\cos(67,5^{\circ}) + \cos(22,5^{\circ}})) \cdot (\cos(67,5^{\circ}) - \cos(22,5^{\circ})).\]

Далее, заменим углы на сумму и разность соответствующих углов:
\[\cos(67,5^{\circ}) = \cos(45^{\circ} + 22,5^{\circ})\]
\[\cos(22,5^{\circ}) = \cos(45^{\circ} - 22,5^{\circ}).\]

Можно воспользоваться формулами сложения и вычитания двух углов:
\[\cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b).\]

Применим эти формулы:
\[\cos(67,5^{\circ}) = \cos(45^{\circ})\cos(22,5^{\circ}) - \sin(45^{\circ})\sin(22,5^{\circ})\]
\[\cos(22,5^{\circ}) = \cos(45^{\circ})\cos(22,5^{\circ}) + \sin(45^{\circ})\sin(22,5^{\circ}).\]

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:
\[(\cos(67,5^{\circ}) + \cos(22,5^{\circ}) \cdot (\cos(67,5^{\circ}) - \cos(22,5^{\circ})) \cdot \cos(67,5^{\circ}) \cdot \cos(22,5^{\circ}).\]

После подстановки и упрощения получаем:
\[(\cos(45^{\circ})\cos(22,5^{\circ}) - \sin(45^{\circ})\sin(22,5^{\circ}) + \cos(45^{\circ})\cos(22,5^{\circ}) + \sin(45^{\circ})\sin(22,5^{\circ})) \cdot \cos(67,5^{\circ}) \cdot \cos(22,5^{\circ}).\]

Заметим, что \(\cos(45^{\circ})\cos(22,5^{\circ})\) и \(\sin(45^{\circ})\sin(22,5^{\circ})\) являются членами одного слагаемого, а \(\cos(45^{\circ})\cos(22,5^{\circ})\) и \(\sin(45^{\circ})\sin(22,5^{\circ})\) - другого:
\[(2 \cos(45^{\circ})\cos(22,5^{\circ})) \cdot \cos(67,5^{\circ}) \cdot \cos(22,5^{\circ}).\]

Так как \(\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), и \(\cos(22,5^{\circ}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\), можно записать:
\[(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}) \cdot \cos(67,5^{\circ}) \cdot \cos(22,5^{\circ}).\]

Упростим это выражение и получим ответ:
\[\sqrt{2 \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos(67,5^{\circ}) \cdot \cos(22,5^{\circ})}.\]

Итак, значение данного выражения равно \(\sqrt{2 \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos(67,5^{\circ}) \cdot \cos(22,5^{\circ})}\).