Какие интервалы характеризуют возрастание или убывание функции y = -2x^2+8x-1?

Магнитный_Магистр

60

Для определения интервалов возрастания или убывания функции \(y = -2x^2 + 8x - 1\), нам необходимо проанализировать ее производную. Если производная положительна на каком-то интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция убывает на этом интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = -2x^2 + 8x - 1\).

Для этого применим правило дифференцирования для каждого члена функции:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-2x^2) + \frac{d}{dx}(8x) - \frac{d}{dx}(1) = -4x + 8
\]

Шаг 2: Решим неравенство \(-4x + 8 > 0\) для определения интервалов, на которых функция возрастает.

\[
-4x + 8 > 0 \implies -4x > -8 \implies x < 2
\]

Таким образом, функция возрастает на интервале \((-\infty, 2)\).

Шаг 3: Решим неравенство \(-4x + 8 < 0\) для определения интервалов, на которых функция убывает.

\[
-4x + 8 < 0 \implies -4x < -8 \implies x > 2
\]

Таким образом, функция убывает на интервале \((2, +\infty)\).

Итак, ответ: функция \(y = -2x^2 + 8x - 1\) возрастает на интервале \((-\infty, 2)\) и убывает на интервале \((2, +\infty)\).