В какой четверти находится точка, полученная в результате поворота точки P (1;0) на угол 5/4пи, -14/3пи и 380 градусов?

Dobraya_Vedma_3477

17

Чтобы определить в какой четверти находится точка после поворота, нам нужно вычислить значение угла и затем определить его местоположение на координатной плоскости. Давайте рассмотрим каждый из трех углов по очереди.

1) Поворот на угол \( \frac{5}{4}\pi \):
Для начала, давайте определим координаты точки P после поворота на данный угол. Мы знаем, что точка P имеет координаты (1,0).

Угол \( \frac{5}{4}\pi \) является совокупностью 1 полного оборота (\( 2\pi \)) и дополнительного угла \( \frac{1}{4}\pi \). Полный оборот соответствует 360 градусам.

Теперь мы можем вычислить координаты точки после поворота с помощью формулы:
\[ x" = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta) \]
\[ y" = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta) \]

Подставим значения x=1, y=0 и \( \theta = \frac{5}{4}\pi \) в эти формулы:
\[ x" = 1 \cdot \cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) \]
\[ y" = 1 \cdot \sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) \]

Вычислим значения \( \cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) \) и \( \sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) \):
\[ \cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) = \cos\left(\frac{5}{4} \cdot \frac{180}{\pi}\right) = \cos(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) = \sin\left(\frac{5}{4} \cdot \frac{180}{\pi}\right) = \sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь, подставим эти значения обратно в выражения для \( x" \) и \( y" \):
\[ x" = 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 0 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ y" = 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, координаты точки P после поворота на угол \( \frac{5}{4}\pi \) равны (-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)). Чтобы понять, в какой четверти находится эта точка, посмотрим на знаки полученных координат:

Координата x равна -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), что отрицательно. Это значит, что точка находится либо во второй, либо в третьей четверти.

Координата y также равна -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), также отрицательна. Это значит, что точка находится только в третьей четверти.

Таким образом, точка, полученная в результате поворота на угол \( \frac{5}{4}\pi \), находится в третьей четверти.

2) Поворот на угол -\(\frac{14}{3}\pi\):
Процедура аналогична предыдущей. Подставим x=1, y=0 и \( \theta = -\frac{14}{3}\pi \) в формулы поворота:
\[ x" = 1 \cdot \cos\left(-\frac{14}{3}\pi\right) - 0 \cdot \sin\left(-\frac{14}{3}\pi\right) \]
\[ y" = 1 \cdot \sin\left(-\frac{14}{3}\pi\right) + 0 \cdot \cos\left(-\frac{14}{3}\pi\right) \]

Вычислим значения \( \cos\left(-\frac{14}{3}\pi\right) \) и \( \sin\left(-\frac{14}{3}\pi\right) \):
\[ \cos\left(-\frac{14}{3}\pi\right) = \cos\left(-\frac{14}{3} \cdot \frac{180}{\pi}\right) = \cos(-140^\circ) = -\frac{1}{2} \]
\[ \sin\left(-\frac{14}{3}\pi\right) = \sin\left(-\frac{14}{3} \cdot \frac{180}{\pi}\right) = \sin(-140^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставим эти значения обратно в выражения для \( x" \) и \( y" \):
\[ x" = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 0 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} \]
\[ y" = 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, координаты точки P после поворота на угол -\(\frac{14}{3}\pi\) равны (-\(\frac{1}{2}\), -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)). Посмотрим на знаки полученных координат:

Координата x равна -\(\frac{1}{2}\), что отрицательно. Значит, точка находится либо во второй, либо в третьей четверти.

Координата y равна -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), отрицательна. Значит, точка находится только в третьей четверти.

Таким образом, точка, полученная в результате поворота на угол -\(\frac{14}{3}\pi\), также находится в третьей четверти.

3) Поворот на угол 380 градусов:
Для начала, переведем градусы в радианы. 1 градус равен \( \frac{\pi}{180} \) радиан.

Угол поворота 380 градусов равен:
\[ 380 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{19}{9}\pi \]

Процедура аналогична двум предыдущим случаям. Подставим x=1, y=0 и \( \theta = \frac{19}{9}\pi \) в формулы поворота:
\[ x" = 1 \cdot \cos\left(\frac{19}{9}\pi\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{19}{9}\pi\right) \]
\[ y" = 1 \cdot \sin\left(\frac{19}{9}\pi\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{19}{9}\pi\right) \]

Вычислим значения \( \cos\left(\frac{19}{9}\pi\right) \) и \( \sin\left(\frac{19}{9}\pi\right) \):
\[ \cos\left(\frac{19}{9}\pi\right) = \cos\left(\frac{19}{9} \cdot \frac{180}{\pi}\right) = \cos(190^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin\left(\frac{19}{9}\pi\right) = \sin\left(\frac{19}{9} \cdot \frac{180}{\pi}\right) = \sin(190^\circ) = -\frac{1}{2} \]

Подставим эти значения обратно в выражения для \( x" \) и \( y" \):
\[ x" = 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ y" = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, координаты точки P после поворота на угол \( \frac{19}{9}\pi \) равны (-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), -\(\frac{1}{2}\)). Посмотрим на знаки полученных координат:

Координата x равна -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), что отрицательно. Значит, точка находится во второй четверти.

Координата y равна -\(\frac{1}{2}\), что также отрицательно. Значит, точка находится только в четвертой четверти.

Таким образом, точка, полученная в результате поворота на угол \( \frac{19}{9}\pi \), находится в четвертой четверти.

Резюмируя, после поворота точка P (1;0) на угол \( \frac{5}{4}\pi \) находится в третьей четверти, на угол -\(\frac{14}{3}\pi\) также в третьей четверти, а на угол 380 градусов в четвертой четверти.

Ниже приведена схема с координатной плоскостью, на которой обозначена исходная точка P (1;0) и точки после поворота:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & & \text{IV} & & \\
\\
& & & &\bullet & & & \\
\\
\text{III} & & & & & & & \text{II} \\
\\
& &\bullet & & & & & \\
\\
& & & & \text{P (1;0)} & & & \\
\\
& &\bullet & & & & & \\
\\
\text{IV} & & & & & & & \text{I} \\
\\
& & & &\bullet & & & \\
\\
& & & & & \text{III} & & \\
\end{array}
\]