В какой момент времени скорость материальной точки равна 3 м/с, если она движется прямолинейно по закону

Лисичка

30

Хорошо, давайте решим данную задачу. У нас есть закон движения \(x(t) = \frac{1}{3}t^3 + 4t^2 - 45t + 9\), где \(x\) - расстояние от точки отсчета в метрах, а \(t\) - время в секундах.

Для определения момента времени, когда скорость материальной точки равна 3 м/с, нам нужно найти производную функции \(x(t)\), а затем решить уравнение \(x"(t) = 3\).

Давайте найдем производную \(x"(t)\):
\[x"(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 + 4t^2 - 45t + 9\right)\]

Чтобы найти производную, мы можем использовать правила дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности. Продифференцируем каждое слагаемое:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3\right) + \frac{d}{dt}\left(4t^2\right) - \frac{d}{dt}\left(45t\right) + \frac{d}{dt}\left(9\right)\]

Производная константы равна нулю, поэтому последнее слагаемое исчезает. Продифференцируем оставшиеся слагаемые:

\[\frac{1}{3}\frac{d}{dt}\left(t^3\right) + 4\frac{d}{dt}\left(t^2\right) - 45\frac{d}{dt}\left(t\right)\]

Вычислим производные каждого слагаемого:

\[\frac{1}{3}(3t^2) + 4(2t) - 45(1)\]

\[\frac{t^2}{3} + 8t - 45\]

Теперь у нас есть выражение для производной функции \(x(t)\):
\[x"(t) = \frac{t^2}{3} + 8t - 45\]

Чтобы найти момент времени, когда скорость равна 3 м/с, мы решим уравнение \(x"(t) = 3\):
\[\frac{t^2}{3} + 8t - 45 = 3\]

Перенесем все слагаемые влево:

\[\frac{t^2}{3} + 8t - 48 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать квадратное уравнение в общем виде или применить факторизацию. Я выберу факторизацию.

Найдем два числа, которые будут перемножаться, чтобы давать \(-48\), а при сложении давать \(8\). После проведения вычислений, эти числа будут \(12\) и \(-4\).

Теперь мы можем разбить линейное слагаемое на два:

\[\frac{t^2}{3} + 12t - 4t - 48 = 0\]

A теперь можно применить группировку:
\[\left(\frac{t^2}{3} + 12t\right) - \left(4t + 48\right) = 0\]

Теперь вынесем общий множитель из первых двух слагаемых и из последних двух:

\[t\left(\frac{t}{3} + 12\right) - 4\left(t + 12\right) = 0\]

Мы видим, что выражение \(\frac{t}{3} + 12\) и \(-4\) являются общими множителями. Разделим каждое слагаемое на эти общие множители:

\[t\left(\frac{t}{3} + 12\right) - 4\left(t + 12\right) = 0\]

\[\left(\frac{t}{3} - 4\right)\left(t + 12\right) = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\frac{t}{3} - 4 = 0\] или \[t + 12 = 0\]

Решим каждое из них:

\[\frac{t}{3} = 4\]

Умножим обе части на 3:

\[t = 12\]

и

\[t + 12 = 0\]

Вычтем 12 из обеих частей:

\[t = -12\]

Итак, у нас есть два момента времени, при которых скорость материальной точки равна 3 м/с: \(t = 12\) секунд и \(t = -12\) секунд.

Учитывая, что время не может быть отрицательным, мы можем заключить, что скорость материальной точки равна 3 м/с в момент времени \(t = 12\) секунд.