В какой точке окажется точка A после поворота на 30, 45 и 120 градусов вокруг начала координат с тем же центром и

Рыжик

64

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо произвести поворот точки A на заданные углы вокруг начала координат.

Первый поворот на 30 градусов: Мы можем использовать формулы поворота для нахождения новых координат точки A. Формулы поворота для плоскости выглядят следующим образом:

\[x" = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta)\]
\[y" = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta)\]

Где (x, y) - исходные координаты точки A, (x", y") - новые координаты точки A после поворота на угол \(\theta\).

В данном случае, угол поворота равен 30 градусам. Исходные координаты точки A не указаны в задаче, поэтому мы предположим, что начальные координаты точки A равны (2, 0). Подставляя значения в формулы поворота, получаем:

\[x" = 2 \cdot \cos(30) - 0 \cdot \sin(30) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]
\[y" = 2 \cdot \sin(30) + 0 \cdot \cos(30) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\]

Таким образом, после поворота на 30 градусов точка A окажется в новой точке с координатами \((\sqrt{3}, 1)\).

Второй поворот на 45 градусов: Действуем аналогичным образом, используя формулы поворота.

Предположим, что начальные координаты точки A после первого поворота равны (\(\sqrt{3}\), 1). Подставляя значения в формулы поворота, получаем:

\[x" = \sqrt{3} \cdot \cos(45) - 1 \cdot \sin(45) = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\]
\[y" = \sqrt{3} \cdot \sin(45) + 1 \cdot \cos(45) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, после поворота на 45 градусов точка A окажется в новой точке с координатами \(\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)\).

Третий поворот на 120 градусов: Снова используем формулы поворота.

Предположим, что начальные координаты точки A после второго поворота равны \(\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)\). Подставляя значения в формулы поворота, получаем:

\[x" = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \cos(120) - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \cdot \sin(120) = -\frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\]
\[y" = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \sin(120) + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \cdot \cos(120) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{4}\]

Таким образом, после поворота на 120 градусов точка A окажется в новой точке с координатами \(\left(-\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}, \frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{4}\right)\).

Чтобы визуализировать это на чертеже, нужно использовать систему координат и нарисовать начальную точку \(A\) и новые точки \(A"\) после каждого поворота. Ниже представлен чертеж, где точка A обозначена красным цветом, а точки \(A"\) после поворотов обозначены синим, зеленым и оранжевым цветом соответственно.

\[
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=left:{\(A\)}] (A) at (2, 0);
\coordinate[label=above:{\(A"\) (поворот на 30°)}] (A") at ({sqrt(3)}, 1);
\coordinate[label=right:{\(A"\) (поворот на 45°)}] (A"") at ({(sqrt(6) - sqrt(2))/2}, {(sqrt(6) + sqrt(2))/2});
\coordinate[label=right:{\(A"\) (поворот на 120°)}] (A""") at ({-(sqrt(2) + sqrt(6))/4}, {(sqrt(6) - 2*sqrt(2))/4});

\draw[->] (-1,0) -- (3,0) node[right] {\(x\)};
\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[above] {\(y\)};

\draw[ultra thick,red] (A) -- (A");
\draw[ultra thick,blue] (A") -- (A"");
\draw[ultra thick,green] (A"") -- (A""");

\fill[red] (A) circle (2pt);
\fill[blue] (A") circle (2pt);
\fill[green] (A"") circle (2pt);
\fill[orange] (A""") circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\]

На чертеже вы можете увидеть, что после каждого поворота точка A перемещается в новую позицию. Мы надеемся, что это объяснение и чертеж помогут вам лучше понять и визуализировать решение данной задачи. Желаем успехов в учебе!