В классе состоит из 15 парней и 10 девушек. Для конференции случайным образом выбираются 6 участников. Найти

Mango

6

Для решения этой задачи мы воспользуемся понятием комбинаторики. В данном случае, нам требуется найти вероятность различных событий, исходя из заданных условий.

а) Чтобы найти вероятность события a, то есть вероятность того, что среди выбранных делегатов будут только парни, нам нужно определить количество способов выбрать 6 делегатов из 15 парней. Воспользуемся формулой комбинаторики:

\[P(a) = \frac{{C(15, 6)}}{{C(25, 6)}}\]

где \(C(n, k)\) обозначает количество сочетаний из \(n\) по \(k\). В числителе у нас стоит количество сочетаний 6 парней из 15, а в знаменателе количество сочетаний 6 участников из общего числа учеников (15 парней + 10 девушек).

Вычислим это выражение:

\[P(a) = \frac{{C(15, 6)}}{{C(25, 6)}} = \frac{{\frac{{15!}}{{6!9!}}}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

\[P(a) = \frac{{15! \cdot 6! \cdot 19!}}{{6! \cdot 9! \cdot 25!}} = \frac{{15! \cdot 19!}}{{9! \cdot 25!}}\]

Продолжим упрощать:

\[P(a) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9! \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}}{{9! \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19!}}\]

Как видно, многие множители сократятся:

\[P(a) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}}{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}}\]

Вычислим это выражение:

\[P(a) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}}{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}} \approx 0.0148\]

Таким образом, вероятность события a составляет примерно 0.0148, или 1.48%.

б) Для вероятности события b, когда среди выбранных делегатов поровну парней и девушек, нам нужно определить количество способов выбрать 3 парней из 15 и 3 девушек из 10, а затем разделить это на общее количество способов выбрать 6 делегатов из 25:

\[P(b) = \frac{{C(15, 3) \cdot C(10, 3)}}{{C(25, 6)}}\]

Вычисляя, получим:

\[P(b) = \frac{{C(15, 3) \cdot C(10, 3)}}{{C(25, 6)}} = \frac{{\frac{{15!}}{{3!12!}} \cdot \frac{{10!}}{{3!7!}}}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

\[P(b) = \frac{{15! \cdot 10! \cdot 6! \cdot 19!}}{{3! \cdot 3! \cdot 7! \cdot 19! \cdot 25!}}\]

Сокращаем множители:

\[P(b) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6!}}{{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7! \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}}\]

Вычисляем:

\[P(b) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6!}}{{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7! \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}} \approx 0.318\]

Таким образом, вероятность события b составляет примерно 0.318, или 31.8%.

в) Чтобы найти вероятность события c, когда большинство выбранных делегатов - девушки, нам нужно определить количество способов выбрать 4 или больше девушек из 10 и 2 или меньше парней из 15, а затем разделить это на общее количество способов выбрать 6 делегатов из 25:

\[P(c) = \frac{{(C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6)) \cdot (C(15, 0) + C(15, 1) + C(15, 2))}}{{C(25, 6)}}\]

\[P(c) = \frac{{(C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6)) \cdot (C(15, 0) + C(15, 1) + C(15, 2))}}{{C(25, 6)}}\]

\[P(c) = \frac{{(C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6)) \cdot (1 + 15 + \frac{{15 \cdot 14}}{{2!}}))}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

\[P(c) = \frac{{(C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6)) \cdot (1 + 15 + 105)}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

\[P(c) = \frac{{(C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6)) \cdot 121}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

Теперь вычислим количество сочетаний:

\[C(10, 4) = \frac{{10!}}{{4!6!}} = 210\]

\[C(10, 5) = \frac{{10!}}{{5!5!}} = 252\]

\[C(10, 6) = \frac{{10!}}{{6!4!}} = 210\]

\[C(15, 0) = 1\]

\[C(15, 1) = 15\]

\[C(15, 2) = \frac{{15!}}{{2!13!}} = 105\]

\[P(c) = \frac{{(210 + 252 + 210) \cdot 121}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

\[P(c) = \frac{{67230}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

\[P(c) \approx 0.00294\]

Вероятность события c составляет примерно 0.00294 или 0.294%.

г) Наконец, чтобы найти вероятность события d, когда среди выбранных делегатов есть хотя бы один парень, нам нужно вычислить вероятность противоположного события (что среди выбранных делегатов нет ни одного парня) и вычесть ее из 1:

\[P(d) = 1 - P(\text{{нет парней среди выбранных}})\]

Чтобы вычислить \(P(\text{{нет парней среди выбранных}})\), необходимо найти количество способов выбрать 6 девушек из 10:

\[P(\text{{нет парней среди выбранных}}) = \frac{{C(10, 6)}}{{C(25, 6)}}\]

\[P(\text{{нет парней среди выбранных}}) = \frac{{\frac{{10!}}{{6!4!}}}}{{\frac{{25!}}{{6!19!}}}}\]

\[P(\text{{нет парней среди выбранных}}) = \frac{{10! \cdot 6! \cdot 19!}}{{6! \cdot 4! \cdot 25!}}\]

\[P(\text{{нет парней среди выбранных}}) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}}\]

Вычислим это:

\[P(\text{{нет парней среди выбранных}}) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}} \approx 0.0132\]

Теперь вычислим \(P(d)\):

\[P(d) = 1 - P(\text{{нет парней среди выбранных}})\]

\[P(d) = 1 - 0.0132\]

\[P(d) \approx 0.9868\]

Таким образом, вероятность события d, что среди выбранных делегатов хотя бы один парень, составляет примерно 0.9868 или 98.68%.

Все вычисления были произведены, и порядок действий был подробно объяснен, чтобы ответ был понятен школьнику. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.