В конусе было проведено параллельное основанию сечение, разделяющее высоту в соотношении 2:5 от вершины. Найдите объем

Pushistyy_Drakonchik_2369

51

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся с данными и используем формулы для нахождения объема конуса и объема отсеченной части.

Пусть \(V\) - объем отсеченной части конуса, \(V_{\text{к}}\) - объем исходного конуса, \(h\) - высота конуса, \(r\) - радиус основания конуса.

Из условия задачи известно, что объем исходного конуса составляет 343 см³. То есть, \(V_{\text{к}} = 343\).

Также из условия задачи мы знаем, что сечение делит высоту конуса в соотношении 2:5 от вершины. Это значит, что отсеченная часть конуса составляет \(2 + 5 = 7\) частей всей высоты.

Для начала найдем высоту конуса. Для этого воспользуемся формулой для объема конуса:

\[
V_{\text{к}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

Коэффициент \(\frac{1}{3}\) в формуле является константой, поэтому нас интересует только \(r^2 h\). Из этой формулы можно выразить высоту конуса:

\[
h = \frac{3 V_{\text{к}}}{\pi r^2}
\]

Подставляя известные значения в формулу, получим:

\[
h = \frac{3 \cdot 343}{\pi r^2}
\]

Теперь найдем высоту отсеченной части конуса. Она будет равна \(\frac{2}{7}\) от высоты всего конуса, то есть:

\[
h_{\text{отс}} = \frac{2}{7} \cdot h
\]

Подставляя выражение для \(h\) в формулу, получим:

\[
h_{\text{отс}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{3 \cdot 343}{\pi r^2}
\]

Наконец, вычислим объем отсеченной части конуса. Для этого воспользуемся формулой для объема конуса:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{\text{отс}}
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{3 \cdot 343}{\pi r^2}
\]

Упрощая выражение, получим:

\[
V = \frac{2}{7} \cdot 343
\]

После подсчета получаем ответ:

\[
V = \frac{2}{7} \cdot 343 = 98 \, \text{см}^3
\]

Таким образом, объем отсеченной части конуса составляет 98 см³.