В кубе abcda1b1c1d1 с ребром длиной 1 ед. на ребре a1d1 есть точка m, где a1m: md1=3:4. Найдите синус угла ϕ между

Sobaka

58

Для решения данной задачи нам потребуется найти координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 и M, чтобы далее использовать их для вычисления синуса угла φ.

Итак, начнем с поиска координат точек в кубе abcda1b1c1d1.

Поскольку куб имеет ребро длиной 1 ед., каждая сторона куба будет иметь длину 1 ед. Начнём с точки A.

Так как это куб, то координаты точки A будут (0, 0, 0).

Также, учитывая, что на ребре a1d1 точка m разделена так, что a1m:md1=3:4, можно найти координаты точки M.

Поскольку a1m составляет 3/7 от общей длины ребра a1d1, а md1 составляет 4/7, можем записать следующее:

a1m = (3/7) * 1 = 3/7
md1 = (4/7) * 1 = 4/7

Таким образом, координаты точки M будут (0, 0, 0 + a1m + md1) = (0, 0, 4/7).

Теперь нам нужно найти синус угла φ между прямой am и диагональной плоскостью (bb1d1d).

Для этого нам нужно найти векторное произведение векторов am и n, где n - нормальный вектор плоскости (bb1d1d).

Вектор am можно выразить как разность координат точек m и a, то есть:

am = (0, 0, 4/7) - (0, 0, 0) = (0, 0, 4/7)

Теперь давайте найдем нормальный вектор плоскости (bb1d1d).

Вектор bb1 можно найти как разность координат точек b1 и b:

bb1 = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)

Аналогично, вектор dd1 можно найти как разность координат точек d1 и d:

dd1 = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0)

Теперь, чтобы найти векторное произведение векторов am и n, мы используем следующую формулу:

am x n = (am_y * n_z - am_z * n_y, am_z * n_x - am_x * n_z, am_x * n_y - am_y * n_x)

Подставим значения:

am x n = (0 * 0 - (4/7) * 1, (4/7) * 0 - 0 * 1, 0 * 1 - 0 * 0) = (-4/7, 0, 0)

Таким образом, векторное произведение векторов am и n равно (-4/7, 0, 0).

Теперь нам нужно найти длины этих векторов.

Длина вектора am равна:

|am| = √((am_x)^2 + (am_y)^2 + (am_z)^2)
= √((0)^2 + (0)^2 + (4/7)^2)
= √(0 + 0 + 16/49)
= √(16/49)
= 4/7

А длина вектора (-4/7, 0, 0) равна:

|(-4/7, 0, 0)| = √((-4/7)^2 + (0)^2 + (0)^2)
= √(16/49 + 0 + 0)
= √(16/49)
= 4/7

Таким образом, синус угла φ между прямой am и диагональной плоскостью (bb1d1d) равен:

sin φ = |(-4/7, 0, 0)| / |am|
= (4/7) / (4/7)
= 1

Таким образом, синус угла φ равен 1.

Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.