В кубе ABCDA1B1C1D1, сечение FGT проведено таким образом, что точка F является серединой ребра B1C1, точка G находится

Кобра

42

через точки B, T и G.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать понятие векторов и их свойства.

Возьмем векторы \(\overrightarrow{BT}\) и \(\overrightarrow{BG}\), которые идут от точки B к точкам T и G соответственно.

Также введем вектор \(\overrightarrow{n}\) - нормаль к искомой плоскости, проходящей через точки B, T и G. Нам нужно найти угол между этой плоскостью и плоскостью, параллельной граням куба ABCDA1B1C1D1.

Так как точка F является серединой ребра B1C1, вектор \(\overrightarrow{FG}\) равен половине вектора \(\overrightarrow{B1C1}\). То есть \(\overrightarrow{FG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{B1C1}\).

Следовательно, вектор \(\overrightarrow{n}\) перпендикулярен вектору \(\overrightarrow{BT}\) и коллинеарен вектору \(\overrightarrow{FG}\). Поэтому вектор \(\overrightarrow{n}\) можно найти как сумму векторов \(\overrightarrow{BT}\) и \(\overrightarrow{FG}\).

Теперь рассмотрим отношение C1G : GD1. Вектор \(\overrightarrow{CG}\) можно найти, умножив вектор \(\overrightarrow{CD1}\) на это отношение. То есть \(\overrightarrow{CG} = \frac{1}{11} \overrightarrow{CD1}\).

Аналогично, отношение C1T : TC позволяет найти вектор \(\overrightarrow{CT}\) таким образом, что \(\overrightarrow{CT} = \frac{1}{10} \overrightarrow{CC1}\).

Теперь мы можем найти вектор \(\overrightarrow{n}\) как сумму векторов \(\overrightarrow{BT}\) и \(\overrightarrow{FG}\):

\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BT} + \overrightarrow{FG}\)

Также мы можем представить вектор \(\overrightarrow{CG}\) как сумму векторов \(\overrightarrow{CD1}\) и \(\overrightarrow{DG}\):

\(\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CD1} + \overrightarrow{DG}\)

А вектор \(\overrightarrow{CT}\) можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{CC1}\) и \(\overrightarrow{C1T}\):

\(\overrightarrow{CT} = \overrightarrow{CC1} + \overrightarrow{C1T}\)

Мы знаем, что векторы \(\overrightarrow{CG}\) и \(\overrightarrow{CT}\) коллинеарны вектору \(\overrightarrow{n}\), поэтому можно записать:

\(\overrightarrow{CG} = k \overrightarrow{n}\)
\(\overrightarrow{CT} = m \overrightarrow{n}\)

где k и m - коэффициенты пропорциональности.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, найдя k и m. Для этого достаточно приравнять соответствующие координаты векторов:

\(CG_x = k n_x\)
\(CG_y = k n_y\)
\(CG_z = k n_z\)

\(CT_x = m n_x\)
\(CT_y = m n_y\)
\(CT_z = m n_z\)

Подставляем значения векторов:

\(\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CD1} + \overrightarrow{DG}\)
\(= \overrightarrow{CB1} + \overrightarrow{B1D1} + \frac{1}{11} \overrightarrow{CD1}\)
\(= \overrightarrow{CB1} + \overrightarrow{B1D1} + \frac{1}{11} (\overrightarrow{CB1} - \overrightarrow{BB1})\)

Аналогично:

\(\overrightarrow{CT} = \overrightarrow{CC1} + \overrightarrow{C1T}\)
\(= \overrightarrow{CB1} + \overrightarrow{BB1} + \frac{1}{9} (\overrightarrow{CC1} - \overrightarrow{C1C})\)

Теперь приравниваем координаты и решаем систему уравнений:

\(CG_x = CT_x\)
\(CG_y = CT_y\)
\(CG_z = CT_z\)

После решения системы уравнений найденные значения k и m позволят нам определить угол между плоскостями, проходящими через точки B, T и G.