В прямоугольнике ABCD с АВ=16см и AD=12см, определите, какая из прямых AC, BC, CD и BD является касательной

Polina

34

Для того чтобы определить, какая из прямых является касательной к окружности, нужно проверить условие касания. Если прямая касается окружности, то она будет перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Найдем радиус-вектор точки касания. Поскольку центр окружности находится в точке А, то радиус-вектор вершины А прямоугольника будет равен нулю, то есть \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0} = (0, 0)\).

Также мы знаем, что радиус окружности равен 12 см. Поскольку окружность это геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра, то вектор точки касания \(\overrightarrow{T}\) должен быть перпендикулярен радиусу окружности.

Запишем векторное произведение \(\overrightarrow{OT} \times \overrightarrow{OA}\):

\(\overrightarrow{OT} \times \overrightarrow{OA} = (x_T - 0, y_T - 0) \times (0 - 0, 0 - 0) = (x_T, y_T) \times (0, 0) = 0 - 0 = 0\)

Так как векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы \(\overrightarrow{OT}\) и \(\overrightarrow{OA}\) коллинеарны. Из этого следует, что вектор \(\overrightarrow{OT}\) перпендикулярен радиусу окружности.

Теперь определим координаты точки T. Поскольку точка Т лежит на прямой BС, мы можем найти уравнение этой прямой и подставить в него значения координат точки Т. Уравнение прямой BC имеет вид:

\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B и C соответственно.

Используя координаты точек B(-8, 0) и C(0, 12), получим:

\(\frac{y-0}{12-0} = \frac{x-(-8)}{0-(-8)}\)

\(\frac{y}{12} = \frac{x+8}{8}\)

Теперь подставим координаты точки T(xT, yT) в уравнение прямой BC:

\(\frac{y_T}{12} = \frac{x_T+8}{8}\)

\(\Rightarrow y_T = \frac{3}{4}x_T + 2\)

Мы получили уравнение, которое описывает прямую BC. Теперь мы должны проверить, перпендикулярна ли эта прямая радиусу OA. Для этого найдем производную уравнения прямой BC и подставим в нее значение координаты точки A (0, 0). Если производная будет равна 0, это будет означать, что прямая BC перпендикулярна радиусу, и следовательно, она является касательной.

Берем производную уравнения прямой BC:
\(y" = \frac{3}{4}\)

Теперь подставляем x=0 в производную:
\(y"(x=0) = \frac{3}{4}\)

Так как производная не равна 0, прямая BC не перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, она не является касательной к окружности.

Повторим те же шаги для каждой из оставшихся прямых.

Для прямой AC, используя точки A(0, 0) и C(0, 12), уравнение прямой будет иметь вид:
\(x = 0\)

Производная полученного уравнения равна 0, что означает, что прямая AC перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, она является касательной к окружности.

Для прямой CD, используя точки C(0, 12) и D(16, 12), уравнение прямой будет иметь вид:
\(y = 12\)

Производная полученного уравнения равна 0, что означает, что прямая CD перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, она является касательной к окружности.

Для прямой BD, используя точки B(-8, 0) и D(16, 12), уравнение прямой будет иметь вид:
\(y = \frac{3}{4}x + 6\)

Производная полученного уравнения не равна 0, что означает, что прямая BD не перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, она не является касательной к окружности.

Итак, из полученных результатов следует, что прямые AC и CD являются касательными к окружности с центром А и радиусом 12 см.