В прямоугольнике АВСD, диагонали пересекаются в точке O, ∠BOA = 60°, BK⊥AO. Найти длину диагонали AC, если AK

Zvezdnaya_Tayna

9

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойствами прямоугольников и треугольников.

1. По условию задачи, у нас есть прямоугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке O.

2. Также нам известно, что угол BOA равен 60 градусов. Это означает, что треугольник ВОА — равносторонний, так как все углы в нем равны 60 градусов.

3. Поскольку ВОА — равносторонний треугольник, то и отрезок ВО равен отрезку АО.

4. Теперь обратим внимание на треугольник ВКО, где К — середина стороны АО, так как К⊥АО.

5. Из свойств треугольника, известно, что медиана треугольника равна половине диагонали, которую она содержит. Следовательно, длина отрезка КО равна половине длины диагонали AC.

6. Так как ВКО — равнобедренный треугольник, из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что медиана к основанию также является высотой. Это означает, что отрезок КО является высотой треугольника ВКО.

7. Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ВКО для нахождения длины отрезка ВК.

8. \(VK^2 + KO^2 = VO^2\)

9. Учитывая, что VK = KO, так как треугольник равнобедренный, мы можем записать \(2VK^2 = VO^2\)

10. Теперь, обратимся к равностороннему треугольнику ВОА, где все стороны равны между собой.

11. Пусть VO = a. Тогда VK = KO = a/2.

12. Подставляем это в наше уравнение: \(2*(a/2)^2 = a^2/2 = a^2\)

13. Таким образом, длина отрезка ВО равна \(a\) (так как это сторона равностороннего треугольника)

14. Мы знаем, что AK = 7 см. Так как AK = VO, то VO = 7 см.

15. Значит, длина диагонали AC равна \(2*VO = 2*7\) см = 14 см.

Таким образом, правильный вариант — 1) 14 см.