1. solvetop.com
  2. Геометрия
  3. On the plane, there...

On the plane, there is a pentagon ABCDE such that ∠ACD=∠ADC=70∘, ∠ABD=50∘, ∠CBD=20∘, ∠AEC=40∘, ∠CED=10∘. When inverted

  • 57
On the plane, there is a pentagon ABCDE such that ∠ACD=∠ADC=70∘, ∠ABD=50∘, ∠CBD=20∘, ∠AEC=40∘, ∠CED=10∘. When inverted with center at point A, points B, C, D, E become points B′, C′, D′, E′. Select all isosceles triangles. △AB′C′ △AC′D′ △AD′E′ △B′C′D′ △C′D′E′ △B′C′E′ triangle formed by the lines C′E′, AD′, B′D′ triangle formed by the lines B′D′, AC′, C′E′

Рекомендуется сохранять верные ответы и всегда делиться с друзьями, ведь они могут тебе ещё пригодиться!

Telegram Whatsapp ВКонтакте
Анжела_4507
55
Давайте рассмотрим каждый из предложенных треугольников и определим, являются ли они равнобедренными.

1. △AB′C′:
Введем углы треугольника.
Пусть \(\angle B"AC" = x\), тогда \(\angle C"AB" = 180^\circ - x\) (сумма углов треугольника равна 180°).
Поскольку треугольники B"AC" и AC"B равнобедренные после инверсии, мы получаем:
\(\angle C"B"A = x\) и \(\angle AC"B" = 180^\circ - x\).
Так как это равнобедренный треугольник, то \(\angle B"AC" = \angle AC"B"\), что равносильно:
\(x = 180^\circ - x\).
Решая это уравнение, получим:
\(2x = 180^\circ\),
\(x = 90^\circ\).

Значит, треугольник △AB′C′ является равнобедренным с углами \(90^\circ\), \(90^\circ\) и \(180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\).

2. △AC′D′:
Пусть \(\angle D"AC" = y\). Запишем углы треугольника.
Так как треугольники C"AD" и AD"C равнобедренные после инверсии, мы получаем:
\(\angle AC"D" = \angle D"AD" = y\).
Значит, треугольник △AC′D′ является равнобедренным с углами \(y\), \(y\) и \(180^\circ - y - y = 180^\circ - 2y\).

3. △AD′E′:
Пусть \(\angle E"AD" = z\). Запишем углы треугольника.
Так как треугольники AED и D"AE" равнобедренные после инверсии, мы получаем:
\(\angle AED = \angle D"AE" = z\).
Значит, треугольник △AD′E′ является равнобедренным с углами \(z\), \(z\) и \(180^\circ - z - z = 180^\circ - 2z\).

4. △B′C′D′:
Пусть \(\angle D"B"C" = w\). Запишем углы треугольника.
Так как треугольники B"C"D" и D"B"C равнобедренные после инверсии, мы получаем:
\(\angle B"C"D" = w\) и \(\angle C"D"B" = 180^\circ - w\).
Так как это равнобедренный треугольник, то \(\angle D"B"C" = \angle C"D"B"\), что равносильно:
\(w = 180^\circ - w\).
Решая это уравнение, получим:
\(2w = 180^\circ\),
\(w = 90^\circ\).

Значит, треугольник △B′C′D′ является равнобедренным с углами \(90^\circ\), \(90^\circ\) и \(180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\).

5. △C′D′E′:
Пусть \(\angle E"D"C" = q\). Запишем углы треугольника.
Так как треугольники C"D"E" и E"C"D равнобедренные после инверсии, мы получаем:
\(\angle C"D"E" = q\) и \(\angle D"E"C" = 180^\circ - q\).
Так как это равнобедренный треугольник, то \(\angle E"D"C" = \angle D"E"C"\), что равносильно:
\(q = 180^\circ - q\).
Решая это уравнение, получим:
\(2q = 180^\circ\),
\(q = 90^\circ\).

Значит, треугольник △C′D′E′ является равнобедренным с углами \(90^\circ\), \(90^\circ\) и \(180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\).

6. △B′C′E′:
Пусть \(\angle E"C"B" = p\). Запишем углы треугольника.
Так как треугольники B"C"E" и E"B"C равнобедренные после инверсии, мы получаем:
\(\angle B"C"E" = p\) и \(\angle C"E"B" = 180^\circ - p\).
Так как это равнобедренный треугольник, то \(\angle E"C"B" = \angle C"E"B"\), что равносильно:
\(p = 180^\circ - p\).
Решая это уравнение, получим:
\(2p = 180^\circ\),
\(p = 90^\circ\).

Значит, треугольник △B′C′E′ является равнобедренным с углами \(90^\circ\), \(90^\circ\) и \(180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\).

Таким образом, равнобедренными являются треугольники: △AB′C′, △B′C′D′, △C′D′E′, △B′C′E′.