В прямоугольном треугольнике КРЕ с углом Р=90 градусов, на катете РЕ выбрана точка М так, что угол КМР=60 градусов
В прямоугольном треугольнике КРЕ с углом Р=90 градусов, на катете РЕ выбрана точка М так, что угол КМР=60 градусов. Найдите длину РМ, если ЕМ=16 см. Приведите решение с помощью схемы.
Дождь 39
Хорошо, давайте решим эту задачу связанную с геометрией прямоугольных треугольников. Мы должны найти длину отрезка РМ, и у нас уже дано, что ЕМ = 16 см. Для начала построим схему задачи:В треугольнике КРЕ, угол Р равен 90 градусов (прямой угол), а угол КМР равен 60 градусов. Мы хотим найти длину отрезка РМ.
Каким-то образом нам нужно использовать известную длину отрезка ЕМ, чтобы получить длину отрезка РМ. Давайте проведем перпендикуляр из точки М к гипотенузе КР и обозначим точку пересечения как Т.
Теперь мы видим, что треугольник МТР - равносторонний треугольник с углами 60 градусов. Это поможет нам в дальнейшем решении.
Так как треугольник МТР равносторонний, все его стороны имеют одинаковую длину. Поэтому длина МТ равна длине РТ. Также, учитывая, что ЕМ = 16 см, длина ЕТ равна ЕМ/2, то есть 16/2 = 8 см.
Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы найти длину отрезка РМ. В треугольнике РТМ угол МРТ равен 90 градусов, так как МТ - это перпендикуляр, опущенный из точки М к гипотенузе КР. Также мы знаем, что угол КМР равен 60 градусов.
Из свойств треугольника можно сказать, что синус угла МРТ равен отношению противолежащей стороны (РМ) к гипотенузе (РТ). То есть sin(МРТ) = РМ / РТ.
Теперь мы можем выразить длину РМ, используя соответствующие длины. По теореме Пифагора в треугольнике РТМ:
\[
РТ^2 = РМ^2 + МТ^2
\]
Мы знаем, что длина МТ равна 8 см, а длина РТ - это гипотенуза прямоугольного треугольника КРЕ. Давайте обозначим длину РМ как х:
\[
(х)^2 = (16)^2 + (8)^2
\]
Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину РМ:
\[
х^2 = 256 + 64 = 320
\]
Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:
\[
х = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}
\]
Таким образом, длина отрезка РМ равна \(8\sqrt{5}\) см.