В прямоугольной трапеции АВСД диагонали перпендикулярны друг другу. Значения сторон трапеции: короткое основание АВ

Tainstvennyy_Leprekon

53

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции.

1. Найдем значение короткого основания ВС.

Известно, что диагонали трапеции перпендикулярны друг другу. Значит, диагонали АС и ВД образуют прямые углы друг с другом.

Также, по свойству прямоугольной трапеции, сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин оснований.

Используем формулу:

\[АС^2 + ВД^2 = АД^2 + ВС^2\]

Подставляем известные значения:

\[3^2 + ВД^2 = 4^2 + ВС^2\]

\[9 + ВД^2 = 16 + ВС^2\]

\[ВС^2 - ВД^2 = 7\]

\[Берем ВС^2 - ВД^2, умножаем на АВ и делим на АД откуда следует что ВС + ВД = АВ, заменяем на известные значения и получаем:7 - ВД^2 = 3 × 4/3 \]

\[7 - ВД^2 = 12/3 \]

\[7 - ВД^2 = 4\]

\[ВД^2 = 7 - 4 \]

\[ВД^2 = 3\]

\[Тогда ВД = \sqrt{3}\]

Подставляем полученное значение ВД в уравнение:

\[3 + (\sqrt{3})^2 = ВС^2 \]

\[3 + 3 = ВС^2 \]

\[6 = ВС^2 \]

\[Тогда ВС = \sqrt{6}\]

Таким образом, значение короткого основания ВС равно \(\sqrt{6}\)см.

2. Найдем длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны друг другу, то точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них.

Поэтому отрезок СО будет равен половине длины диагонали АС, а отрезок АО будет равен половине длины диагонали АД.

Мы уже знаем, что АС = \(\sqrt{6}\)см (сторона ВС), а АД = 4 см (длинное основание).

Теперь найдем длины отрезков:

Отрезок СО = \( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \) см

Отрезок АО = \( \frac{1}{2} \cdot 4 \) см

Отрезок ВО = \( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \) см

Таким образом, получаем ответ:

1. Значение короткого основания ВС равно \(\sqrt{6}\)см.
2. Длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения: отрезок СО = \( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \) см, отрезок АО = \( \frac{1}{2} \cdot 4 \) см, отрезок ВО = \( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \) см.