а) Постройте отображения вершин треугольника АВС при повороте вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки

Самбука_589

51

Хорошо! Давайте решим задачу шаг за шагом.

а) Для того чтобы построить отображение вершин треугольника АВС при повороте вокруг начала координат на угол \(\alpha\) против часовой стрелки, мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Найдите координаты вершин треугольника А (\(x_1, y_1\)), Б (\(x_2, y_2\)) и С (\(x_3, y_3\)), где каждая вершина задана своими координатами на плоскости.
2. Для каждой вершины примените формулы поворота вокруг начала координат:

\[
\begin{align*}
x_1" &= x_1 \cdot \cos(\alpha) - y_1 \cdot \sin(\alpha) \\
y_1" &= x_1 \cdot \sin(\alpha) + y_1 \cdot \cos(\alpha) \\
x_2" &= x_2 \cdot \cos(\alpha) - y_2 \cdot \sin(\alpha) \\
y_2" &= x_2 \cdot \sin(\alpha) + y_2 \cdot \cos(\alpha) \\
x_3" &= x_3 \cdot \cos(\alpha) - y_3 \cdot \sin(\alpha) \\
y_3" &= x_3 \cdot \sin(\alpha) + y_3 \cdot \cos(\alpha) \\
\end{align*}
\]

3. Постройте треугольник с вершинами А" (\(x_1", y_1"\)), Б" (\(x_2", y_2"\)) и С" (\(x_3", y_3"\)) на плоскости. Это будут новые вершины треугольника после поворота.

б) Чтобы определить угловую меру поворота в градусах, нам понадобится вычислить значение угла \(\alpha\) в радианах и перевести его в градусы. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[
\text{Угловая мера в градусах} = \frac{\alpha}{\pi} \cdot 180
\]

где \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3,14159.

Теперь, когда у нас есть общий план, давайте рассмотрим пример:

Предположим, у нас имеется треугольник АВС с координатами вершин: А(2, 1), В(4, 3) и С(6, 2). Мы хотим повернуть его на угол \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) радиан против часовой стрелки.

а) Тогда, используя формулы поворота, мы получим новые координаты вершин:

\[
\begin{align*}
x_1" &= 2 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) - 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 1 \\
y_1" &= 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) + 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + 1 \\
x_2" &= 4 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) - 3 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \\
y_2" &= 4 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + 3 \\
x_3" &= 6 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) - 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 3 \\
y_3" &= 6 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) + 2 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + 2 \\
\end{align*}
\]

б) Чтобы определить угловую меру поворота в градусах, мы вычисляем:

\[
\text{Угловая мера в градусах} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} \cdot 180 = 60^\circ
\]

Следовательно, вершины треугольника АВС после поворота на угол \(\frac{\pi}{3}\) радиан против часовой стрелки будут А"(1, \(\sqrt{3} + 1\)), В"(2, \(\sqrt{3} + 3\)) и С"(3, \(\sqrt{3} + 2\)). Угловая мера поворота равна 60 градусам.

Надеюсь, это поможет вам понять и решить задачу!