В тетраэдре DABC, точка M является серединной точкой ребра AC. Известно, что в тетраэдре BA=BC и DA=DC. Докажите

Groza

21

Здравствуйте! Для того чтобы доказать, что прямая, содержащая ребро AC, перпендикулярна плоскости (BDM), мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности - если векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярны вектору, лежащему вне плоскости, то они перпендикулярны плоскости.

1. Поскольку в тетраэдре BA=BC и DA=DC, мы можем заключить, что треугольники ΔABC и ΔDAC являются равнобедренными треугольниками. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, делит этот треугольник на две равные части. Следовательно, медиана из вершины B и медиана из вершины D пересекаются в точке M, которая является серединой ребра AC.

2. Таким образом, медиана из вершины B и медиана из вершины D пересекаются в точке M, и эта точка является серединой ребра AC. Чтобы найти угол, образуемый медианой с основанием треугольников ΔABC и ΔDAC, нам необходимо рассмотреть угол между медианой и одним из ребер (например, BA или DA).

Так как треугольники ΔABC и ΔDAC равнобедренные, медианы из вершины B и D можно считать средними перпендикулярными, соединяющими вершины треугольников с серединами противоположных сторон. В результате, угол между медианой и ребром BA (или DA) равен 90 градусов.

Таким образом, угол, образуемый медианой с основанием треугольников ΔABC и ΔDAC, равен 90 градусов. Из этого следует, что прямая, содержащая ребро AC, перпендикулярна плоскости (BDM).