В треугольнике ABC даны векторы A=CA и B=CB, A=(0; 1; -1), B=(2; -1; -1). Найти: а) Вектор AB. б) Внутренние углы

Yaschik

17

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

а) Чтобы найти вектор AB, нужно вычислить разность векторов B и A. Выпишем данные векторы:

A = (0, 1, -1)
B = (2, -1, -1)

Вычитая координаты вектора A из координат вектора B, получим:

AB = B - A = (2, -1, -1) - (0, 1, -1) = (2-0, -1-1, -1-(-1))

Выполняя арифметические операции, получим:

AB = (2, -2, 0)

Таким образом, вектор AB равен (2, -2, 0).

б) Чтобы найти внутренние углы треугольника, воспользуемся формулой косинуса. Пусть углы треугольника обозначены как α, β и γ.

Найдем угол α, образованный векторами AB и AC. Для этого воспользуемся скалярным произведением:

cos α = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

Найдем сначала вектор AC. Вектор AC - это разность векторов C и A:

AC = C - A

В нашем случае:
C = CA (данный вектор не указан, поэтому предположим, что C = (x, y, z))

AC = C - A = (x, y, z) - (0, 1, -1) = (x-0, y-1, z-(-1)) = (x, y-1, z+1)

Теперь вычислим скалярное произведение AB и AC:

AB · AC = (2, -2, 0) · (x, y-1, z+1) = 2x - 2(y-1) + 0(z+1) = 2x - 2y + 2

Далее найдем длины векторов AB и AC:

|AB| = √(2² + (-2)² + 0²) = √(4 + 4 + 0) = √8 = 2√2
|AC| = √(x² + (y-1)² + (z+1)²)

Теперь сформулируем формулу для нахождения угла α через косинус:

cos α = (2x - 2y + 2) / (2√2 * √(x² + (y-1)² + (z+1)²))

Аналогичными действиями можно найти углы β и γ.

в) Чтобы найти вектор C, мы должны воспользоваться формулой векторного произведения:

C = A × (B-2A)

Вычислим векторное произведение:

C = (0, 1, -1) × ((2, -1, -1) - 2(0, 1, -1)) = (0, 1, -1) × (2, -1, -1) - (0, 1, -1) × (0, 2, -2)

Вычислим каждое векторное произведение по формуле:

(0, 1, -1) × (2, -1, -1) = ((1*-1) - (-1*(-1)), (-1*2) - (1*(-1)), (0 - (2*(-1)))) = (-1, -3, 2)

(0, 1, -1) × (0, 2, -2) = ((1*(-2)) - ((-1)*(2)), (0*(-1)) - (0*(-1)), (0*2) - (1*0)) = (-2 - (-2), 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0)

Подставим результаты в исходную формулу:

C = (-1, -3, 2) - (0, 0, 0) = (-1, -3, 2)

Таким образом, вектор C равен (-1, -3, 2).

Чтобы найти модуль вектора C, просто найдем его длину:

|C| = √((-1)² + (-3)² + 2²) = √(1 + 9 + 4) = √14

г) Для нахождения модуля смешанного произведения векторов (i+j+k)AB, воспользуемся формулой:

|(i+j+k)AB| = |iAB + jAB + kAB|

Раскроем скобки:

|(i+j+k)AB| = |i(2, -2, 0) + j(2, -2, 0) + k(2, -2, 0)| = |(2, -2, 0) + (2, -2, 0) + (2, -2, 0)|

Выполним сложение поэлементно:

|(i+j+k)AB| = |(2+2+2, -2-2-2, 0+0+0)| = |(6, -6, 0)|

Наконец, найдем модуль полученного вектора:

|(i+j+k)AB| = √(6² + (-6)² + 0²) = √(36 + 36 + 0) = √72 = 6√2

Таким образом, модуль смешанного произведения |(i+j+k)AB| равен 6√2.

Надеюсь, этот ответ был для вас понятен. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!