В треугольнике ABC, где AB = 3, AC = 4 и BC = 5, какая из вершин находится ближе к центру вписанной окружности?

Евгений

68

Чтобы определить, какая из вершин треугольника находится ближе к центру вписанной окружности, нам нужно узнать, где именно находится центр этой окружности.

Для начала давайте рассмотрим несколько свойств вписанной окружности. Одно из таких свойств гласит, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Биссектриса угла в треугольнике делит этот угол на два равных по величине угла. Теперь нам понадобится найти биссектрисы углов треугольника ABC.

Давайте начнем с угла A. Построим биссектрису угла A, проходящую через точку A. Поскольку AB = 3 и AC = 4, мы можем разделить сторону BC на две части, пропорциональные этим значениям:

\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)

Подставляя известные значения, получим:

\(\frac{BD}{CD} = \frac{3}{4}\)

Теперь давайте рассмотрим точку D. Это точка пересечения биссектрисы угла A с отрезком BC. Мы можем найти точные координаты точки D, используя теорему площадей треугольника:

\[BD \cdot AC = CD \cdot AB\]

\[\frac{3}{4} \cdot 4 = CD \cdot 3\]

\[3 = CD \cdot 3\]

\[CD = 1\]

Таким образом, мы нашли, что точка D имеет координаты (1,0). Теперь у нас есть первая биссектриса.

Аналогичным образом мы можем построить биссектрису угла B и найти точку E, пересечение биссектрисы угла B с отрезком AC. Опять же, используем теорему площадей, чтобы найти координаты точки E:

\[\frac{CE}{AE} = \frac{BC}{AB}\]

\[\frac{CE}{AE} = \frac{5}{3}\]

\[\frac{CE}{3} = \frac{5}{3}\]

\[CE = 5\]

Таким образом, точка E имеет координаты (4,0). Теперь у нас есть вторая биссектриса.

Наконец, нам нужно найти точку F, пересечение биссектрисы угла C с отрезком AB. Используя теорему площадей, мы находим координаты точки F:

\[\frac{AF}{BF} = \frac{AC}{BC}\]

\[\frac{AF}{BF} = \frac{4}{5}\]

\[\frac{AF}{5} = \frac{4}{5}\]

\[AF = 4\]

Таким образом, точка F имеет координаты (3,0). Теперь у нас есть все три биссектрисы и их точки пересечения с отрезками треугольника.

Осталось узнать, какая из вершин треугольника ближе к центру вписанной окружности. Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника, поэтому нам нужно найти расстояние от вершин треугольника до найденной точки.

Расстояние между двумя точками на плоскости можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)

Применяя эту формулу к каждой из вершин треугольника (A, B и C) и точке пересечения биссектрис (D, E и F), мы можем найти расстояния до центра окружности.

Для вершины A:

\(d_A = \sqrt{(x_A-x_D)^2 + (y_A-y_D)^2}\)

\(d_A = \sqrt{(0-1)^2 +(0-0)^2}\)

\(d_A = \sqrt{1}\)

\(d_A = 1\)

Для вершины B:

\(d_B = \sqrt{(x_B-x_E)^2 + (y_B-y_E)^2}\)

\(d_B = \sqrt{(3-4)^2 +(0-0)^2}\)

\(d_B = \sqrt{1}\)

\(d_B = 1\)

И, наконец, для вершины C:

\(d_C = \sqrt{(x_C-x_F)^2 + (y_C-y_F)^2}\)

\(d_C = \sqrt{(3-3)^2+(0-0)^2}\)

\(d_C = \sqrt{0}\)

\(d_C = 0\)

Таким образом, мы обнаруживаем, что расстояния от всех вершин треугольника \(A, B\) и \(C\) до центра вписанной окружности \(D, E\) и \(F\) равны, соответственно, \(1, 1\) и \(0\). Так как все они находятся на одинаковом расстоянии, мы можем заключить, что все вершины находятся одинаково близко к центру вписанной окружности.