В треугольнике ABC (при угле C = 90°) на стороне BC были выбраны точки K и L таким образом, что углы CAK, KAL

Сквозь_Подземелья

69

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойства треугольников и равенства углов.

Дано:
В треугольнике ABC прямой угол C;
На стороне BC выбраны точки K и L, так что углы CAK, KAL и LAB равны между собой;
На гипотенузе AB выбрана точка M, так что ML = KL.

Доказать:
Перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую AK, не делит отрезок ML пополам.

Решение:

Шаг 1: Докажем, что треугольник KAL является равнобедренным.
Угол CAK равен углу KAL (по условию), а угол KAL равен углу LAB, значит, угол CAK равен углу LAB.
Значит, треугольник KAL является равнобедренным, так как у него два угла при основании равны. Значит, KL = AL.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники MLC и KAC. Они равны по двум сторонам и углу между ними:
- ML = KL (по условию),
- LC = CA (по построению),
- Угол MLC равен углу KAC (признак равенства треугольников: две стороны и угол между ними равны).

Следовательно, треугольники MLC и KAC равны, а значит, у них соответствующие стороны пропорциональны.
ML / KA = LC / AC.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник CMA.
Как было доказано в шаге 2, треугольник MLC равен треугольнику KAC, а значит, у них соответствующие стороны пропорциональны.
ML / KA = LC / AC.
Также из условия задачи известно, что ML = KL.

Значит, KL / KA = LC / AC.

Шаг 4: Рассмотрим треугольник CKA.
Угол CKA прямой (перпендикуляр опущенный из точки C на прямую AK), а угол CKL прямой (перпендикуляр опущенный из точки C на прямую KL).

Значит, угол КАК и угол КЛС смежные (они обладают общей стороной CK), и их внешний угол, образованный продолжением стороны CK, равен сумме этих внутренних углов.

Угол КАК = угол КЛС + угол CKL.

Так как угол КЛС прямой, то его значение равно 90 градусам.

Значит, угол КАК = 90° + угол CKL.

Шаг 5: Рассмотрим треугольник КЛС.
В треугольнике КЛС сумма углов равна 180° (сумма углов треугольника). Значит, угол КЛС + угол CKL + угол CКЛ = 180°.

Так как угол КЛС равен 90° (по условию) и угол CKL также равен 90° (по построению), то их сумма равна 180° - 90°.

Значит, угол КЛС + угол CKL + 90° = 180°.

Сокращая на 90°, получаем: угол КЛС + угол CKL = 90°.

Шаг 6: Сравниваем углы КАК и КЛС + CKL.

Угол КАК = 90° + угол CKL (из шага 4).
Угол КЛС + угол CKL = 90° (из шага 5).

Значит, угол КАК равен углу КЛС + углу CKL.

Шаг 7: Сравниваем отношения сторон треугольника CKA (из шага 3) и треугольника КАК (из шага 6).

KL / KA = LC / AC (из шага 3).
KA / KA = KL / AC (сокращаем на KA).

Значит, KL / KA = LC / AC = 1.

Из равенства KL / KA = 1 следует, что KL = KA.
Это означает, что перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую AK, не делит отрезок ML пополам, так как KL и KA равны.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую AK, не делит отрезок ML пополам.