В треугольнике ABC, точка D лежит на стороне AC и AD=6 см, а DC=10 см. Отрезок DB разделяет треугольник ABC

Антонович

27

Чтобы найти площадь большего из образовавшихся треугольников, нам понадобится найти высоту треугольника ABC, опущенную из вершины B на основание AC. Затем мы сможем разделить треугольник ABC на две части и найти площадь каждой из них.

Для начала, давайте найдем площадь треугольника ABC. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, то есть:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\]

где \(S_{ABC}\) - площадь треугольника ABC, \(AC\) - длина основания треугольника ABC, \(h\) - высота, опущенная из вершины B на основание AC.

Также, мы знаем, что сумма площадей двух треугольников, образованных отрезком DB, должна равняться площади треугольника ABC, то есть:

\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BDC}\]

Теперь давайте найдем высоту треугольника ABC, опущенную из вершины B на основание AC. Для этого мы можем использовать подобие треугольников. Треугольник ABC подобен треугольнику ADB, так как они имеют общий угол в вершине A, и соответственные стороны пропорциональны. Значит, отношение высот треугольников ABC и ADB равно отношению сторон BC и BD. Мы можем записать это как:

\[\frac{h}{6} = \frac{BC}{BD}\]

Так как мы знаем, что DC = 10 см, то BD = AC - DC = AC - 10. Подставляя это значение, мы получаем:

\[\frac{h}{6} = \frac{BC}{AC - 10}\]

Теперь давайте решим эту пропорцию относительно \(h\):

\[h = \frac{6 \cdot BC}{AC - 10}\]

Теперь, используя \(h\), мы можем выразить площадь треугольника ABC как:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \left(\frac{6 \cdot BC}{AC - 10}\right)\]

Зная, что \(S_{ABC} = 144\) см², мы можем решить это уравнение относительно \(BC\). Подставим значение и решим:

\[144 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \left(\frac{6 \cdot BC}{AC - 10}\right)\]

\[288 = AC \cdot \left(\frac{6 \cdot BC}{AC - 10}\right)\]

\[288 \cdot (AC - 10) = 6 \cdot AC \cdot BC\]

Теперь мы можем найти \(BC\) путем деления обеих сторон уравнения на \(6 \cdot AC\):

\[BC = \frac{288 \cdot (AC - 10)}{6 \cdot AC}\]

\[BC = \frac{48 \cdot (AC - 10)}{AC}\]

Таким образом, мы получили выражение для длины стороны BC через AC.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABD. Она равна половине произведения длины основания на высоту, то есть:

\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h\]

\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h\]

\[S_{ABD} = 3h\]

Аналогично, площадь треугольника BDC равна половине произведения длины основания на высоту, то есть:

\[S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h\]

\[S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h\]

\[S_{BDC} = 5h\]

Таким образом, мы нашли выражения для площадей треугольников ABD и BDC через \(h\).

Теперь давайте подставим выражение для \(h\) в эти формулы и найдем площади треугольников ABD и BDC через длину основания AC:

\[S_{ABD} = 3 \left(\frac{6 \cdot BC}{AC - 10}\right)\]

\[S_{BDC} = 5 \left(\frac{6 \cdot BC}{AC - 10}\right)\]

Итак, площадь большего из образовавшихся треугольников будет равна \(S_{BDC}\). Подставим значение и выразим площадь через длину основания AC и длину стороны BC:

\[S_{большего треугольника} = 5 \left(\frac{6 \cdot BC}{AC - 10}\right)\]

\[S_{большего треугольника} = \frac{30 \cdot BC}{AC - 10}\]

Теперь, чтобы получить ответ, нам нужно подставить значения длины основания и стороны BC:

\[S_{большего треугольника} = \frac{30 \cdot BC}{AC - 10}\]

\[S_{большего треугольника} = \frac{30 \cdot \left(\frac{48 \cdot (AC - 10)}{AC}\right)}{AC - 10}\]

\[S_{большего треугольника} = \frac{30 \cdot 48}{AC}\]

\[S_{большего треугольника} = \frac{1440}{AC}\]

Таким образом, площадь большего из образовавшихся треугольников равна \(\frac{1440}{AC}\) квадратных сантиметров.