В треугольнике CDF длины сторон CD и DF равны 5 и 6 соответственно, а косинус угла между ними равен 0,6. Какова длина

Волшебник

67

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где c - длина стороны треугольника, противолежащая углу C, a и b - длины других двух сторон, C - угол между этими двумя сторонами.

1. Найдем длину стороны FC:

Мы знаем, что длины сторон CD и DF равны 5 и 6 соответственно, а косинус угла DCF равен 0,6.

Обозначим сторону FC как x.

Применим теорему косинусов к треугольнику CDF:

\[ x^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 0,6 \]

\[ x^2 = 25 + 36 - 60 \cdot 0,6 \]

\[ x^2 = 25 + 36 - 36 \]

\[ x^2 = 25 \]

\[ x = \sqrt{25} \]

\[ x = 5 \]

Таким образом, длина стороны FC равна 5.

2. Теперь найдем синус наименьшего угла треугольника CDF:

Мы знаем, что косинус угла DCF равен 0,6.

Синус угла можно найти по следующей формуле:

\[ \sin(A) = \sqrt{1 - \cos^2(A)} \]

Так как угол DCF является наименьшим углом треугольника CDF, то нам нужно найти синус этого угла. Обозначим его как A.

\[ \sin(A) = \sqrt{1 - 0,6^2} \]

\[ \sin(A) = \sqrt{1 - 0,36} \]

\[ \sin(A) = \sqrt{0,64} \]

\[ \sin(A) = 0,8 \]

Таким образом, синус наименьшего угла треугольника CDF равен 0,8.

3. Наконец, найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника CDF:

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен половине длины его стороны, деленной на синус любого из его углов.

Мы уже нашли длину стороны FC, которая равна 5, и синус наименьшего угла треугольника CDF, который равен 0,8.

\[ R = \frac{FC}{2 \cdot \sin(A)} \]

\[ R = \frac{5}{2 \cdot 0,8} \]

\[ R = \frac{5}{1,6} \]

\[ R = 3,125 \]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника CDF, равен 3,125.