В треугольнике MNK, вписана окружность w1. Прямая, параллельная стороне MN и касательная к окружности, разделяет

Margarita

12

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся свойством вписанных углов и отношением радиусов вписанных окружностей.

По свойству вписанных углов, мы знаем, что угол KEM равен половине угла KNM, так как они смещены на одну и ту же дугу. Аналогично, угол KFM равен половине угла MNK.

Поскольку прямая KE параллельна стороне MN, у нас имеются две пары соответственных углов: угол KEM соответствует углу KNM и угол KFM соответствует углу MNK.

Таким образом, углы KEM и KFM должны быть равны друг другу. Отсюда следует, что треугольник KEM является равнобедренным треугольником.

Теперь давайте обратимся к отношению радиусов вписанных окружностей. По определению, радиус окружности w1 является отрезком, проведенным от центра окружности до одной из ее точек касания с треугольником MNK. Аналогично, радиус окружности w2 является отрезком, проведенным от центра окружности до одной из ее точек касания с треугольником FKE.

Поскольку треугольник KEM является равнобедренным, у него радиусы вписанных окружностей равны. Отсюда следует, что радиус w1 равен радиусу w2.

Теперь задача сводится к определению отношения радиусов окружностей. Поскольку радиус w2 равен радиусу w1, они оба являются радиусами окружности w1.

Итак, радиус w1 не превышает радиус w1 ни во сколько раз. Ответ: радиус w1 не превышает радиус w1.