В треугольной пирамиде SABC, на ребрах SA, SB и SC, есть точки M, K и P соответственно. Известно, что соотношения SM:MA

Skazochnaya_Princessa

9

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями о соотношениях и долевых отношениях в треугольной пирамиде.

Пусть \(V_{SABC}\) - объем треугольной пирамиды \(SABC\).

Известно, что точки \(M\), \(K\) и \(P\) делят соответствующие ребра пропорционально: \(SM : MA = 2 : 3\), \(SK : KB = 5 : 2\) и \(SP : PC = 6 : 1\).

Обозначим \(x = SM\), \(y = SK\) и \(z = SP\) — отрезки, измеряющие соответствующие расстояния. Тогда \(MA = 3x\), \(KB = \frac{2}{5}y\) и \(PC = \frac{1}{6}z\).

Построим плоскость, проходящую через точки \(M\), \(P\) и \(K\). Обозначим площадь этой плоскости через \(S_{MKP}\).

Теперь можем записать соотношение объемов:

\[\frac{V_{MKPS}}{V_{SABC}} = \frac{S_{MKP}}{S_{ABC}}\]

Так как треугольная пирамида \(SABC\) и плоскость \(MKP\) находятся в одной пирамиде, их объемы пропорциональны площадям оснований.

Обозначим площадь основания \(S_{ABC}\) через \(S\). Тогда площадь основания \(S_{MKP}\) равна \(\frac{S_{ABC}}{N}\), где \(N\) - число, показывающее, в каком отношении проведенная плоскость делит объем пирамиды.

Теперь можем записать:

\[\frac{V_{MKPS}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{S_{ABC}}{N}}{S_{ABC}} = \frac{1}{N}\]

Для нахождения значения \(N\) подставим известные соотношения:

\[\frac{V_{MKPS}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{S_{ABC}}{N}}{S_{ABC}} = \frac{1}{N} = (2:3) \cdot (5:2) \cdot (6:1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{1}\]

Выполним вычисления:

\[\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{1} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{60}{6} = 10\]

Итак, мы получаем, что \(N = 10\).

Теперь найдем значение выражения \(12 \cdot N\):

\(12 \cdot N = 12 \cdot 10 = 120\)

Ответ: Значение выражения \(12 \cdot N\) равно \(120\).