В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде с поршнем содержится идеальный газ. Сосуд поместили в лифт. Когда

Magnitnyy_Magistr_214

4

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон Паскаля, который гласит, что давление в жидкости или газе передается одинаково во всех направлениях и не зависит от формы сосуда.

При отсутствии движения лифта, давление, создаваемое газом в сосуде, равно атмосферному давлению. Поэтому, для начального положения поршня, давление \(P_1\) равно атмосферному давлению.

Когда лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, происходит изменение давления в сосуде. Мы можем использовать формулу

\[P_2 = P_1 + \rho g h_2,\]

где \(P_2\) - давление в сосуде при движении лифта, \(P_1\) - атмосферное давление, \(\rho\) - плотность газа, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h_2\) - изменение расстояния между поршнем и дном сосуда.

Так как мы знаем, что температура остается постоянной, то объем газа тоже остается неизменным. Поэтому, мы можем записать уравнение состояния идеального газа:

\[PV = nRT,\]

где \(P\) - давление газа, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа.

Поскольку объем газа неизменен, мы можем записать:

\[P_1 = \frac{nRT}{V},\]

или просто \(P_1 = kT\), где \(k\) - некоторая постоянная.

Таким образом, мы можем переписать первое уравнение в виде:

\[P_2 = kT + \rho g h_2.\]

Так как температура остается постоянной, константы \(k\) и \(T\) являются постоянными и мы можем их объединить в одну константу \(C\):

\[P_2 = C + \rho g h_2.\]

Теперь мы можем сформулировать уравнение для постоянного ускорения лифта. В данной задаче, сосуд вертикально расположен, поэтому ускорение свободного падения \(g\) направлено вниз. Следовательно, \(g\) будет положительным.

Ускорение лифта можно найти, используя уравнение движения:

\[h_2 = \frac{1}{2}a t^2,\]

где \(h_2\) - изменение расстояния между поршнем и дном сосуда, \(a\) - ускорение лифта, \(t\) - время движения.

Мы знаем, что \(h_2 = 20\) см, поэтому, чтобы найти ускорение лифта, нам необходимо найти время движения \(t\).

Для решения этой задачи, мы можем использовать уравнение движения:

\[h_2 = h_1 + V_0 t + \frac{1}{2}a t^2,\]

где \(h_1\) - начальное расстояние между поршнем и дном сосуда, \(V_0\) - начальная скорость поршня.

Так как лифт начинает двигаться с нулевой начальной скоростью, \(V_0 = 0\), и уравнение упрощается до:

\[h_2 = h_1 + \frac{1}{2}a t^2.\]

Подставляем \(h_1 = 24\) см и \(h_2 = 20\) см:

\[20 = 24 + \frac{1}{2}a t^2.\]

Перегруппируем уравнение:

\[\frac{1}{2}a t^2 = -4.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно времени:

\[t^2 = \frac{-8}{a}.\]

Делаем предположение, что ускорение лифта \(a\) положительно. Тогда, чтобы корень выражения был действительным, правая часть должна быть отрицательной. Следовательно, \(a\) должно быть отрицательным.

Теперь мы можем найти значение времени \(t\):

\[t = \sqrt{\frac{-8}{a}}.\]

Теперь, имея значение времени \(t\), мы можем найти ускорение лифта \(a\):

\[a = \frac{-8}{t^2}.\]

Таким образом, ускорение лифта равно \(\frac{-8}{t^2}\), где \(t\) - время движения лифта.

Надеюсь, это решение будет понятно школьнику. Если у вас есть вопросы, пожалуйста, задавайте!