В якому напрямку і з якою швидкістю автомобіль рухається у першій половині шляху, якщо друга половина шляху

Павел

53

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые знания о векторах и их свойствах. Давайте разберемся пошагово.

Пусть \(\vec{v_1}\) будет вектором скорости автомобиля в первой половине пути, \(\vec{v_2}\) - вектором скорости автомобиля во второй половине пути.

Согласно условию, вторая половина пути происходит под углом 30 градусов к начальному направлению. Тогда мы можем представить второй вектор скорости \(\vec{v_2}\) в виде суммы двух векторов: один будет направлен вдоль начального направления, а второй - перпендикулярно ему. Перед нами стоит задача найти эти два вектора.

Так как во второй половине пути скорость автомобиля увеличивается втричи, то можно заметить, что вектор скорости вдоль начального направления (лежащий на одной горизонтальной прямой с начальным направлением) будет иметь величину втричи большую, чем у \(\vec{v_1}\).

Таким образом, вектор \(\vec{v_1}\) будет совпадать с вектором скорости на первой половине пути, а вектор \(\vec{v_2}\) будет состоять из суммы векторов \(\vec{v_1}\) и вектора, направленного перпендикулярно к начальному направлению скорости и имеющего величину втричи большую.

Теперь мы можем перейти к определению значений величин и направлений векторов. Для удобства, обозначим величину вектора \(\vec{v_1}\) как \(v\), так как скорость автомобиля не меняется.

Величину второго вектора обозначим также как \(v\), но втричи его увеличим, то есть второй вектор будет иметь величину \(3v\).

Направление первого вектора останется неизменным и совпадет с начальным направлением.

Направление второго вектора можно определить, зная, что оно составляет угол 30 градусов с начальным направлением. Так как направление первого вектора не меняется, то второй вектор будет направлен \((30 + 180) = 210\) градусов относительно начального направления.

Теперь мы можем выразить вектор средней скорости, который является средним арифметическим двух векторов скорости:

\[
\vec{v_{avg}} = \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}
\]

Апплицируем значения векторов \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) в данное уравнение:

\[
\vec{v_{avg}} = \frac{v \cdot \vec{e_1} + 3v \cdot \vec{e_2}}{2}
\]

где \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\) - базисные векторы направлений начального и второго векторов соответственно.

Теперь представим эти базисные векторы в виде их составляющих в горизонтальной и вертикальной плоскостях:

\[
\vec{e_1} = \begin{pmatrix} \cos(0) \\ \sin(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e_2} = \begin{pmatrix} \cos(210) \\ \sin(210) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
\]

Подставим значения в уравнение:

\[
\vec{v_{avg}} = \frac{v \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3v \cdot \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}{2}
\]

Раскроем скобки:

\[
\vec{v_{avg}} = \frac{\begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{3v\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{3v}{2} \end{pmatrix}}{2} = \frac{\begin{pmatrix} v - \frac{3v\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{3v}{2} \end{pmatrix}}{2}
\]

Упростим выражение:

\[
\vec{v_{avg}} = \begin{pmatrix} \frac{v}{2} - \frac{3v\sqrt{3}}{4} \\ -\frac{3v}{4} \end{pmatrix}
\]

Таким образом, вектор средней скорости \(\vec{v_{avg}}\) будет иметь компоненты:
\(v_x = \frac{v}{2} - \frac{3v\sqrt{3}}{4}\) и \(v_y = -\frac{3v}{4}\).

Мы можем определить величину и направление вектора \(\vec{v_{avg}}\) используя формулу:

\[
v_{avg} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)
\]

где \(v_{avg}\) - величина вектора средней скорости, \(\theta\) - направление в радианах.

Подставим значения в уравнение:

\[
v_{avg} = \sqrt{\left(\frac{v}{2} - \frac{3v\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3v}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} - \frac{3v^2\sqrt{3}}{2} + \frac{27v^2}{16} + \frac{9v^2}{16}}
\]

Мы можем объединить первые два слагаемых и последние два слагаемых:

\[
v_{avg} = \sqrt{\left(\frac{v^2}{4} + \frac{9v^2}{16}\right) - \left(\frac{3v^2\sqrt{3}}{2} - \frac{3v^2\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{\frac{7v^2}{8}}
\]

\[
v_{avg} = \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot v
\]

Теперь определим направление:

\[
\theta = \arctan\left(\frac{-\frac{3v}{4}}{\frac{v}{2} - \frac{3v\sqrt{3}}{4}}\right) = \arctan\left(\frac{-3}{2 - 3\sqrt{3}}\right)
\]

Округлим значение до двух десятичных знаков:

\[
\theta \approx -0.17 \; \text{радиан} \approx -9.72^\circ
\]

Итак, направление вектора средней скорости составляет примерно -9.72 градусов относительно начального направления, а его величина равна \(\frac{\sqrt{7}}{2} \cdot v\).