В ящике содержатся 18 деталей, из которых 12 являются стандартными. Случайно выбирается две детали. Какова вероятность

Радужный_День

53

Хорошо, давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

1) Для начала, нам нужно найти вероятность того, что обе извлеченные детали окажутся стандартными. Количества деталей обозначим следующим образом: всего деталей \(n = 18\), количество стандартных деталей \(k = 12\).

Для первой детали вероятность выбрать стандартную равна \(P(\text{станд. деталь}) = \frac{k}{n} = \frac{12}{18}\).

После того, как одна стандартная деталь уже выбрана, в ящике остаются \(n-1 = 17\) деталей, из которых \(k-1 = 11\) стандартных.

Таким образом, вероятность выбрать вторую стандартную деталь при условии, что первая была выбрана, равна \(P(\text{станд. деталь}|\text{станд. деталь}) = \frac{k-1}{n-1} = \frac{11}{17}\).

Так как эти два события являются независимыми, вероятности их совместного наступления перемножаются. Таким образом, вероятность выбрать две стандартные детали составляет:

\[P(\text{2 станд. детали}) = P(\text{станд. деталь}) \times P(\text{станд. деталь}|\text{станд. деталь}) = \frac{12}{18} \times \frac{11}{17}\]

2) Теперь рассмотрим вероятность того, что хотя бы одна из двух деталей окажется стандартной. Чтобы это вычислить, нам нужно найти вероятность обратного события: вероятность того, что обе детали окажутся нестандартными.

Вероятность выбрать первую нестандартную деталь равна \(P(\text{нестанд. деталь}) = \frac{n-k}{n} = \frac{6}{18}\).

После того, как одна нестандартная деталь уже отобрана, в ящике остается \(n-1 = 17\) деталей, из которых \(k = 12\) являются стандартными.

Таким образом, вероятность выбрать вторую нестандартную деталь при условии, что первая была выбрана, равна \(P(\text{нестанд. деталь}|\text{нестанд. деталь}) = \frac{n-k-1}{n-1} = \frac{5}{17}\).

Так как эти два события являются независимыми, вероятности их совместного наступления перемножаются. Таким образом, вероятность выбрать две нестандартные детали составляет:

\[P(\text{2 нестанд. детали}) = P(\text{нестанд. деталь1}) \times P(\text{нестанд. деталь2}|\text{нестанд. деталь1}) = \frac{6}{18} \times \frac{5}{17}\]

Теперь, чтобы найти вероятность хотя бы одной стандартной детали, мы вычитаем вероятность выбрать две нестандартные детали из 1:

\[P(\text{хотя бы одна станд. деталь}) = 1 - P(\text{2 нестанд. детали})\]

Давайте вычислим все значения.