В2. Перпендикулярное ребро BC тетраэдра ABCD к плоскости ABD имеет длину 12. В треугольнике ABD угол ZB равен 90°, угол

Валера

41

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства перпендикулярности, расстояния от точки до плоскости и геометрические соотношения в треугольниках.

а) Для плоскости BCD, чтобы она была перпендикулярна плоскости ABD, необходимо, чтобы все ребра треугольника BCD были перпендикулярны ребрам плоскости ABD. Мы знаем, что в треугольнике ABD угол ZB равен 90°, поэтому ребро BC перпендикулярно плоскости ABD. Таким образом, утверждение а) верно.

б) Чтобы найти расстояние от точки D до плоскости ABC, мы можем нарисовать перпендикуляр из точки D к плоскости ABC и найти его длину. Обозначим эту точку как E. Так как треугольник ABD - прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]
\[14^2 = AD^2 + 12^2\]
\[196 = AD^2 + 144\]
\[AD^2 = 52\]
\[AD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

\[Расстояние = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Здесь (A, B, C) - коэффициенты уравнения плоскости, (x0, y0, z0) - координаты точки D, а D - свободный член уравнения плоскости.

В нашем случае плоскость ABC имеет уравнение x + y + z = 0. Заметим, что x0 + y0 + z0 = AD + BD + CD = AD + 12 + 0 (так как CD лежит на оси OZ) = 2\sqrt{13} + 12.

Подставляя все значения в формулу, получаем:

\[Расстояние = \frac{|1(2\sqrt{13} + 12) + 1(-12) + 1(0) + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}\]
\[Расстояние = \frac{|2\sqrt{13} + 12 - 12|}{\sqrt{3}}\]
\[Расстояние = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{13}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}\]
\[Расстояние = \frac{2\sqrt{39}}{3}\]

Таким образом, утверждение б) неверно, расстояние от точки D до плоскости ABC равно \(\frac{2\sqrt{39}}{3}\), а не 7.

в) Для нахождения расстояния от точки А до прямой CD, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой:

\[Расстояние = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Здесь (A, B) - коэффициенты уравнения прямой, (x0, y0) - координаты точки А, а C - свободный член уравнения прямой.

Прямая CD имеет уравнение z = 0, то есть A = 0, B = 0 и C = 1.

Заметим, что x0 + y0 = AB + BD = AD + 14 = 2\sqrt{13} + 14.

Подставляя все значения в формулу, получаем:

\[Расстояние = \frac{|0(2\sqrt{13} + 14) + 0 + 1|}{\sqrt{0^2 + 0^2}}\]
\[Расстояние = \frac{1}{0}\]

Здесь мы сталкиваемся с делением на ноль, поэтому нельзя найти расстояние от точки А до прямой CD. Таким образом, утверждение в) неверно.

г) Чтобы найти тангенс угла между плоскостью ABD и плоскостью CBD, нам нужно найти угол между нормалями этих плоскостей. Нормаль к плоскости ABD - это векторное произведение AB и AD. Нормаль к плоскости CBD - это векторное произведение CB и CD. Тангенс угла между этими нормалями будет равен отношению модуля векторного произведения к модулю скалярного произведения. Однако, у нас нет информации о векторах AB, AD, CB и CD, поэтому невозможно точно вычислить тангенс угла между этими плоскостями. Таким образом, утверждение г) невозможно проверить без дополнительной информации.

Итак, из всех утверждений верно только утверждение а). Утверждения б), в) и г) неверны или невозможно проверить без дополнительной информации.