Вариант 1 1. Каков объем куба с ребром 2? 2. Каково скалярное произведение векторов AB*AC, CD*D1D, AB1*DC1, B1A*B1C
Вариант 1
1. Каков объем куба с ребром 2?
2. Каково скалярное произведение векторов AB*AC, CD*D1D, AB1*DC1, B1A*B1C, AC1*AC?
3. Верно ли, что вектор а является перпендикулярным вектору б, если а = (4; 5; -2) и б = (7; -8; -6)?
4. Каковы значения cos векторов (a, b), если а = (1; 2; 2) и б = (4; 0; -3)?
5. Чему равен результат вычисления вектора (-а) * вектор б, вектора (-а) * вектор (-б) и вектора 3а * вектор (-б)?
1. Каков объем куба с ребром 2?
2. Каково скалярное произведение векторов AB*AC, CD*D1D, AB1*DC1, B1A*B1C, AC1*AC?
3. Верно ли, что вектор а является перпендикулярным вектору б, если а = (4; 5; -2) и б = (7; -8; -6)?
4. Каковы значения cos векторов (a, b), если а = (1; 2; 2) и б = (4; 0; -3)?
5. Чему равен результат вычисления вектора (-а) * вектор б, вектора (-а) * вектор (-б) и вектора 3а * вектор (-б)?
Солнце 20
1. Объем куба с ребром 2 можно вычислить по формуле \( V = a^3 \), где \( a \) - длина ребра. В данном случае ребро равно 2, поэтому объем куба будет:\[ V = 2^3 = 8 \]
Ответ: объем куба с ребром 2 равен 8.
2. Скалярное произведение векторов можно найти по формуле \( A \cdot B = |A| \cdot |B| \cdot \cos(\alpha) \), где \( A \) и \( B \) - векторы, \( |A| \) и \( |B| \) - их модули, а \( \alpha \) - угол между ними.
a) Векторы AB и AC заданы координатами A, B и C. Первым делом найдем векторы AB и AC:
\[ AB = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \]
\[ AC = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) \]
Далее вычислим их модули:
\[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]
\[ |AC| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \]
Теперь посчитаем скалярное произведение:
\[ AB \cdot AC = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\alpha) \]
b) Точно таким же образом можно поступить для векторов CD, D1D, AB1, DC1, B1A, B1C, AC1 и AC. Для каждого вектора найдем его модули и скалярные произведения с другими векторами.
Ответ: чтобы найти значения скалярного произведения векторов AB*AC, CD*D1D, AB1*DC1, B1A*B1C, AC1*AC, следует вычислить модули векторов и скалярные произведения по указанной формуле.
3. Для того чтобы определить, являются ли векторы а и б перпендикулярными, необходимо выполнить условие \( а \cdot б = 0 \).
Произведем вычисления:
\[ а \cdot б = (4 \cdot 7) + (5 \cdot (-8)) + (-2 \cdot (-6)) = 28 - 40 + 12 = 0 \]
Таким образом, получаем, что вектор а является перпендикулярным к вектору б.
Ответ: да, вектор а является перпендикулярным вектору б.
4. Значения cos векторов (а, б) можно найти по формуле:
\[ \cos(\alpha) = \frac{{а \cdot б}}{{|а| \cdot |б|}} \]
Вычислим:
\[ \cos(\alpha) = \frac{{(1 \cdot 4) + (2 \cdot 0) + (2 \cdot (-3))}}{{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \cdot \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2}}} \]
\[ \cos(\alpha) = \frac{{4 - 6}}{{\sqrt{9} \cdot \sqrt{25}}} = \frac{{-2}}{{3 \cdot 5}} = -\frac{{2}}{{15}} \]
Ответ: значение cos векторов (а, б) равно -\(\frac{{2}}{{15}}\).
5. Вычислим результаты следующих выражений:
a) \((-а) \cdot б\)
\[ (-а) \cdot б = -(а \cdot б) \]
b) \((-а) \cdot (-б)\)
\[ (-а) \cdot (-б) = а \cdot б \]
c) \(3а \cdot (-б)\)
\[ 3а \cdot (-б) = -(3а \cdot б) \]
Ответ: результат вычисления \((-а) \cdot б\) равен \(-(а \cdot б)\), результат вычисления \((-а) \cdot (-б)\) равен \(а \cdot б\), результат вычисления \(3а \cdot (-б)\) равен \(-(3а \cdot б)\).