Вариант 1 1. Каков объем куба с ребром 2? 2. Каково скалярное произведение векторов AB*AC, CD*D1D, AB1*DC1, B1A*B1C

Солнце

20

1. Объем куба с ребром 2 можно вычислить по формуле $V=a^3$, где $a$ - длина ребра. В данном случае ребро равно 2, поэтому объем куба будет:

$$V=2^3=8$$

Ответ: объем куба с ребром 2 равен 8.

2. Скалярное произведение векторов можно найти по формуле $A\cdot B=|A|\cdot |B|\cdot \cos (\alpha )$, где $A$ и $B$ - векторы, $|A|$ и $|B|$ - их модули, а $\alpha$ - угол между ними.

a) Векторы AB и AC заданы координатами A, B и C. Первым делом найдем векторы AB и AC:

$$AB=B-A=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$$
$$AC=C-A=(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)$$

Далее вычислим их модули:

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2+(z_C-z_A{)}^2}$$

Теперь посчитаем скалярное произведение:

$$AB\cdot AC=|AB|\cdot |AC|\cdot \cos (\alpha )$$

b) Точно таким же образом можно поступить для векторов CD, D1D, AB1, DC1, B1A, B1C, AC1 и AC. Для каждого вектора найдем его модули и скалярные произведения с другими векторами.

Ответ: чтобы найти значения скалярного произведения векторов AB*AC, CD*D1D, AB1*DC1, B1A*B1C, AC1*AC, следует вычислить модули векторов и скалярные произведения по указанной формуле.

3. Для того чтобы определить, являются ли векторы а и б перпендикулярными, необходимо выполнить условие $а\cdot б=0$.

Произведем вычисления:

$$а\cdot б=(4\cdot 7)+(5\cdot (-8))+(-2\cdot (-6))=28-40+12=0$$

Таким образом, получаем, что вектор а является перпендикулярным к вектору б.

Ответ: да, вектор а является перпендикулярным вектору б.

4. Значения cos векторов (а, б) можно найти по формуле:

$$\cos (\alpha )=\frac{а\cdot б}{|а|\cdot |б|}$$

Вычислим:

$$\cos (\alpha )=\frac{(1\cdot 4)+(2\cdot 0)+(2\cdot (-3))}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{4^2+0^2+(-3{)}^2}}$$

$$\cos (\alpha )=\frac{4-6}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{25}}=\frac{-2}{3\cdot 5}=-\frac{2}{15}$$

Ответ: значение cos векторов (а, б) равно -$\frac{2}{15}$.

5. Вычислим результаты следующих выражений:

a) $(-а)\cdot б$

$$(-а)\cdot б=-(а\cdot б)$$

b) $(-а)\cdot (-б)$

$$(-а)\cdot (-б)=а\cdot б$$

c) $3а\cdot (-б)$

$$3а\cdot (-б)=-(3а\cdot б)$$

Ответ: результат вычисления $(-а)\cdot б$ равен $-(а\cdot б)$, результат вычисления $(-а)\cdot (-б)$ равен $а\cdot б$, результат вычисления $3а\cdot (-б)$ равен $-(3а\cdot б)$.