Вариант a1 1. В параллелограмме ABCD угол A равен 30°, AB равно 2√3, и ВС равно 5. Найти скалярное произведение

Vechnaya_Mechta

20

Для решения задачи, нам потребуются знания о параллелограммах и векторах.

а) Чтобы найти скалярное произведение векторов AD и AB, нужно знать длины их модулей и угол между ними. Сначала найдем вектор AD.

Вектор AD можно найти вычитанием координат вектора A из координат вектора D:
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\)

Зная, что вектор AB имеет длину \(2\sqrt{3}\) и является основанием параллелограмма ABCD, мы можем определить вектор AD таким образом:
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}\)

где \(\overrightarrow{BD}\) - это вектор, идущий от точки B до точки D.

Так как мы знаем, что вектор BC равен 5, и угол между AD и BC составляет 30°, мы можем определить вектор BD следующим образом:
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CD}\)

где \(\overrightarrow{CD}\) - это вектор, идущий от точки C до точки D.

С учетом этих данных, можем найти векторы AD, AB и BD:
\(\overrightarrow{AB} = 2\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{BC} = 5\)
\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\) (так как CD || AB)

Теперь найдем векторы AD и BD:
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CD} = 5 - 2\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = 2\sqrt{3} + (5 - 2\sqrt{3}) = 5\)

Теперь, когда у нас есть векторы AD и AB, мы можем найти скалярное произведение векторов:
\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos(\theta)\)

где \(|\overrightarrow{AD}|\) и \(|\overrightarrow{AB}|\) - это длины модулей векторов AD и AB соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Длина модуля вектора AD: \(|\overrightarrow{AD}| = 5\)
Длина модуля вектора AB: \(|\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{3}\)
Угол между векторами AD и AB: \(\theta = 30°\)

Теперь подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30°)\)

Вычислим произведение:
\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\)

Таким образом, скалярное произведение векторов AD и AB равно 15.

б) Чтобы найти скалярное произведение векторов ВА и ВС, нужно знать длины их модулей и угол между ними. Сначала найдем вектор ВА.

Вектор ВА можно найти вычитанием координат вектора A из координат вектора B:
\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)

Так как мы уже знаем длину модуля вектора AB (равно \(2\sqrt{3}\)), мы можем определить вектор ВА таким образом:
\(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)

Теперь найдем векторы ВА и ВС:
\(\overrightarrow{AB} = 2\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{BC} = 5\)

Теперь, когда у нас есть векторы ВА и ВС, мы можем найти скалярное произведение векторов:
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\theta)\)

где \(|\overrightarrow{BA}|\) и \(|\overrightarrow{BC}|\) - это длины модулей векторов ВА и ВС соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Длина модуля вектора ВА: \(|\overrightarrow{BA}| = 2\sqrt{3}\)
Длина модуля вектора ВС: \(|\overrightarrow{BC}| = 5\)
Угол между векторами ВА и ВС: \(\theta = 180°\) (так как ВА и ВС лежат на одной прямой)

Теперь подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos(180°)\)

Вычислим произведение:
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot (-1) = -10\sqrt{3}\)

Таким образом, скалярное произведение векторов ВА и ВС равно \(-10\sqrt{3}\).