Какой угол образуют плоскости Q и G, если плоскость Q проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ

Magnit

62

Чтобы найти угол между плоскостями Q и G, мы можем воспользоваться формулой, которая основана на свойствах скалярного произведения нормалей плоскостей.

1. Найдем нормали плоскостей Q и G:
- Плоскость Q параллельна плоскости XOZ, следовательно, ее нормаль будет вектором, перпендикулярным плоскости XOZ. Поскольку плоскость XOZ имеет уравнение y = 0, нормаль плоскости Q будет иметь компоненты (0, 1, 0).
- Плоскость G отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, c = 0,5. По определению нормали плоскости, нормаль плоскости G будет иметь компоненты (2, -4, 0.5).

2. Вычислим скалярное произведение нормалей плоскостей:
\[(0, 1, 0) \cdot (2, -4, 0.5) = 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) + 0 \cdot 0.5 = -4\]

3. Найдем модули нормалей плоскостей:
\[|\vec{N_Q}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\]
\[|\vec{N_G}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 0.5^2} = \sqrt{24.25} \approx 4.925\]

4. Используя полученные значения, найдем косинус угла между плоскостями:
\[\cos{\theta} = \frac{\vec{N_Q} \cdot \vec{N_G}}{|\vec{N_Q}| \cdot |\vec{N_G}|} = \frac{-4}{1 \cdot 4.925} \approx -0.813\]

5. Найдем значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:
\[\theta = \arccos{(-0.813)} \approx 143.51^\circ\]

Таким образом, угол между плоскостями Q и G составляет примерно 143.51 градусов.