Какой угол образуют плоскости Q и G, если плоскость Q проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ

Magnit

62

Чтобы найти угол между плоскостями Q и G, мы можем воспользоваться формулой, которая основана на свойствах скалярного произведения нормалей плоскостей.

1. Найдем нормали плоскостей Q и G:
- Плоскость Q параллельна плоскости XOZ, следовательно, ее нормаль будет вектором, перпендикулярным плоскости XOZ. Поскольку плоскость XOZ имеет уравнение y = 0, нормаль плоскости Q будет иметь компоненты (0, 1, 0).
- Плоскость G отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, c = 0,5. По определению нормали плоскости, нормаль плоскости G будет иметь компоненты (2, -4, 0.5).

2. Вычислим скалярное произведение нормалей плоскостей:
$$(0,1,0)\cdot (2,-4,0.5)=0\cdot 2+1\cdot (-4)+0\cdot 0.5=-4$$

3. Найдем модули нормалей плоскостей:
$$|\overrightarrow{N_Q}|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=\sqrt{1}=1$$
$$|\overrightarrow{N_G}|=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+{0.5}^2}=\sqrt{24.25}\approx 4.925$$

4. Используя полученные значения, найдем косинус угла между плоскостями:
$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{N_Q}\cdot \overrightarrow{N_G}}{|\overrightarrow{N_Q}|\cdot |\overrightarrow{N_G}|}=\frac{-4}{1\cdot 4.925}\approx -0.813$$

5. Найдем значение угла $\theta$ с помощью обратной функции косинуса:
$$\theta =\arccos (-0.813)\approx {143.51}^{\circ }$$

Таким образом, угол между плоскостями Q и G составляет примерно 143.51 градусов.