Векторы (3;-4) и (m;9) будут коллинеарны при каком значении m? Векторы (3;-4) и (m;9) будут перпендикулярны при каком

Стрекоза

8

m?

Чтобы определить, при каком значении \(m\) данные векторы будут коллинеарны или перпендикулярны, нам нужно использовать свойства векторов.

1. Коллинеарность векторов:
Два вектора будут коллинеарными, если один вектор можно получить, умножив другой вектор на некоторую константу. Иначе говоря, если один вектор является кратным другого.

В данном случае, мы имеем два вектора: \((3;-4)\) и \((m;9)\).
Если вектор \((m;9)\) коллинеарен вектору \((3;-4)\), то мы должны найти такое значение \(m\), при котором мы можем умножить или разделить вектор \((3;-4)\) на это значение \(m\) и получить вектор \((m;9)\).

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

\((3;-4) = k(m;9)\), где \(k\) - некоторая константа.

Раскрывая равенство по координатам, мы получаем систему уравнений:

\(3 = km\) и \(-4 = 9k\)

Мы можем решить эту систему уравнений для определения значения \(m\).

2. Перпендикулярность векторов:
Два вектора будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

В данном случае, мы имеем два вектора: \((3;-4)\) и \((m;9)\).
Если вектор \((m;9)\) перпендикулярен вектору \((3;-4)\), то их скалярное произведение будет равно нулю.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить следующим образом:

\((3;-4) \cdot (m;9) = 3m + (-4) \cdot 9\)

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\(3m - 36 = 0\)

Мы можем решить это уравнение для определения значения \(m\).

Теперь давайте решим эти уравнения:

1. Коллинеарность векторов:
Система уравнений:
\[
\begin{align*}
3 &= km \\
-4 &= 9k
\end{align*}
\]

Разрешим первое уравнение относительно \(k\):
\(k = \dfrac{3}{m}\)

Подставим второе уравнение:
\(-4 = 9 \left(\dfrac{3}{m}\right)\)

Выразим \(m\):
\(m = -\dfrac{27}{4}\)

Таким образом, для того чтобы векторы \((3;-4)\) и \((m;9)\) были коллинеарны, значение \(m\) должно быть равно \(-\dfrac{27}{4}\).

Ответ: \(m = -\dfrac{27}{4}\) для коллинеарности векторов.

2. Перпендикулярность векторов:
Уравнение:
\(3m - 36 = 0\)

Выразим \(m\):
\(m = \dfrac{36}{3}\)

Таким образом, для того чтобы векторы \((3;-4)\) и \((m;9)\) были перпендикулярны, значение \(m\) должно быть равно \(12\).

Ответ: \(m = 12\) для перпендикулярности векторов.